Доказать, что многочлен $$Q(x)=x^n \sin \phi - \rho^{n-1}x \sin n\phi+\rho^n \sin (n-1)\phi$$ делится на $%x^2-2\rho x \cos \phi + \rho ^2$%.

задан 13 Июн '14 18:17

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь примерно та же идея, что и в предыдущей задаче. У квадратного трёхчлена здесь имеется два корня: $%x_{1,2}=\rho(\cos\phi\pm i\sin\phi)$% (проверяется через теорему Виета). Достаточно проверить, что одно из этих чисел является корнем $%Q(x)$%. Тогда второе число тоже будет корнем как сопряжённое, и по теореме Безу $%Q(x)$% будет делиться на $%(x-x_1)(x-x_2)$%.

Полагаем $%x=\rho(\cos\phi+i\sin\phi)$%, и тогда с учётом формулы Муавра получается $%Q(x)=\rho^n(\cos n\phi+i\sin n\phi)\sin\phi-\rho^n(\cos\phi+i\sin\phi)\sin n\phi+\rho^n\sin(n-1)\phi=0$% с учётом тригонометрического тождества для синуса разности ($%\sin(n\phi-\phi)$%).

ссылка

отвечен 13 Июн '14 18:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$x^2-2\rho x\cos\phi+\rho^2=(x-\rho\cos\phi-\rho i\sin\phi)(x-\rho\cos\phi+\rho i\sin\phi)$$

$$Q(\rho(\cos\phi\pm i\sin\phi))=$$ $$=\rho^n(\cos n\phi\pm i\sin n\phi)\sin\phi-\rho^{n-1}\rho(\cos\phi\pm i\sin\phi)\sin n\phi+\rho^n\sin(n-1)\phi=$$ $$=\rho^n(\cos n\phi\sin\phi-\cos\phi\sin n\phi+\sin(n-1)\phi)=0.$$

ссылка

отвечен 13 Июн '14 18:36

изменен 13 Июн '14 18:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×499

задан
13 Июн '14 18:17

показан
556 раз

обновлен
13 Июн '14 18:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru