Integral{x^2+y^2+z^2}dS; где S-поверхность сферы x^2+y^2+z^2=a^2

и Integral{x^2+y^2+z^2}dP, где P-поверхность октаэдра |x|+|y|+|z|=a ;


если переходить к сферическим координатам и брать

x=asin(teta)cos(fi);

y=asin(teta)sin(fi);

z=a*cos(teta); u=teta;v=fi(если взять u=fi и v=teta, в случае решения по алгоритму ниже(взятому у Демидовича) ничего не поменяется)

и находить E;G;F;

и sqrt(EG-F^2),

так, как написано тут, у Демидовича http://www.chemmsu.ru/download/1kurs/matan/demidovich_for_highschool.pdf

(на странице 460(458-страница pdf-документа), пункт 1° ) то разницы между сими интегралами не будет(что не соответствует ответу у Демидовича)

если же решать аналогично тому, как написано тут в примере 6 http://www.math24.ru/surface-integrals-of-second-kind.html

(только я взял тета за u а фи за v, так как тут в примере 6 описано решение для внутренней поверхности, а мне нужно найти внешнюю-не уверен, что это правильное предположение-поменять u и v местами в силу нахождения обратной стороны поверхности)

, то получаются результаты, которые опять же не совпадают с ответом; правильный ответ:

(4PI-2sqrt(3))*a^4

прошу помочь; если возможно, прошу написать также и решение в декартовых координатах

задан 13 Июн '14 19:42

изменен 13 Июн '14 19:59

@falcao могу ли я поменять местами - y-от 0 до a, а x-от 0 до a-y? и можно ли при вычислении повторного интеграла при вычислении внутреннего интеграла, например, по иксу, подносить игрек под дифференциал, зная, что он обнулиться, дабы было удобнее проинтегрировать выражение в степени типа (x-y)^3, и можно ли таким же образом и с теми же целями подносить под дифференциал константу, которая является верхним пределом интеграла?

(13 Июн '14 23:35) Jeg92

@Jeg92: в том интеграле, который я рассматривал, всё симметрично относительно перестановки $%x$% и $%y$%. Поэтому так делать можно.

Что касается приёмов с интегралами, то на первый взгляд кажется, что это делать можно, если речь идёт о константах, не зависящих от $%y$%. Но при этом надо внимательно следить за изменением пределов интегрирования. Скорее всего, никакой выгоды от таких приёмов не будет. Если Вы покажете пример, я смогу сказать, как всё сделать без "ухищрений". Вообще, я сторонник применения простых, проверенных и стандартных средств при решении "типовых" задач.

(14 Июн '14 0:51) falcao

@falcao thanx)

(14 Июн '14 0:54) Jeg92
10|600 символов нужно символов осталось
0

Первый из интегралов равен $%4\pi a^4$%, потому что интегрируется постоянная функция, равная $%a^2$%, и это значение умножается на площадь поверхности сферы.

Для второго из интегралов: у октаэдра 8 граней, и интегралы по каждой из них равны. Поэтому рассмотрим грань из первого октанта, где $%x+y+z=a$%, и все координаты неотрицательны. Легко видеть, что при параметризации $%z=a-x-y$% получается $%E=G=2$%, $%F=1$%, то есть возникает множитель $%\sqrt3$%. Тогда всё сводится к интегрированию функции $%g(x,y)=x^2+y^2+(a-x-y)^2$% по треугольнику в плоскости $%Oxy$%, ограниченному осями координат и прямой $%x+y=a$%. Получается $%\int\limits_0^adx\int\limits_0^{a-x}g(x,y)dy$%. Интегрируются здесь полиномиальные функции, поэтому результат нетрудно вычислить. Будет $%\frac{a^4}4$%, что далее мы умножаем на коэффициент $%8\sqrt3$%. Это даёт $%2\sqrt3a^4$%, и тогда разность двух поверхностных интегралов совпадает с тем, что в ответе.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 20:06

@falcao или вы считали по формуле, которая дана для частного случая, без перехода к иным координатам?но тогда там же нет E, G, F, а есть sqrt(1+(dx/dz)^2+(dy/dz)^2) dx, dy-частные производные

(13 Июн '14 20:53) Jeg92

@falcao а как получился треугольник?и как вы определили пределы?

(13 Июн '14 20:54) Jeg92

@Jeg92: то, что множитель равен $%\sqrt3$%, ясно из общих соображений, потому что это плоская поверхность. Но можно посчитать и по формулам, где $%u=x$%, $%v=y$%.

Никаких сферических координат у меня нет. Вообще, я не люблю решать задачи сложными способами. Здесь это совершенно ни к чему.

Треугольник получается как проекция грани октаэдра на плоскость $%Oxy$%.

(13 Июн '14 20:59) falcao

@falcao всё ясно, thanx, кроме пределов в случае октаэдра..

(13 Июн '14 21:07) Jeg92
1

@Jeg92: я беру одну грань октаэдра, из первого октанта. Это треугольник, его вершины лежат на координатных осях. То есть это (a;0;0), (0;a;0), (0,0,a). Спроектируем их на плоскость $%Oxy$%. Получатся три точки: (a;0), (0;a), (0,0). Это в точности вершины того треугольника, о котором я сказал. Если его нарисовать, то станет ясно, что в его пределах $%x$% изменяется от 0 до $%a$%, и при фиксированном таком $%x$% переменная $%y$% принимает значения от 0 до $%a-x$%. Это и будут пределы интегрирования.

(13 Июн '14 21:17) falcao

@falcao ясно, thanx) а что вы можете сказать об алгоритме решения, который предлагает math24.ru по ссылке, что я скинул?правилен ли он, и правильно ли моё предположение о том, что для того, чтобы адаптировать алгоритм, задействованный в том примере(пример 6), под внешнюю поверхность, нужно взять тета за u и фи(на math24.ru-пси) за v?насколько я знаю, внешняя и внутренняя поверхности отличаются лишь знаком-т.е. если переставить строки определителя, изменится знак, верно?

(13 Июн '14 21:24) Jeg92
1

@Jeg92: скорее всего, там всё написано правильно, но я в это не хочу вдумываться, потому что это очень сложный способ решения. Возможно, его имеет смысл проработать чисто для тренировки, если Вы это считаете для себя полезным.

Для поверхностных интегралов первого рода (как в этой задаче) нет различия между внешней и внутренней поверхностью (об этом сказано, в частности, у Демидовича).

(13 Июн '14 21:36) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,325
×100
×99
×49
×16

задан
13 Июн '14 19:42

показан
1279 раз

обновлен
14 Июн '14 0:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru