1
1

Переменные $%x,y$% связаны условием $%x^2+y^2-6x+4y+10=0$%. Найти все значения параметра $%a$%, при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями выражения $%2ax-3y-10$% больше 12

задан 13 Июн '14 20:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

ссылка

отвечен 14 Июн '14 17:07

@epimkin: я вчера решал эту задачу, и ответ у меня получился такой же. Что интересно, я решал графически, так как мне показалось, что аналитическое решение будет длинным. Обычно бывает наоборот :)

(14 Июн '14 18:23) falcao

@falcao, цифры большие получались(на калькуляторе считал).Ну, как обычно ошибся , сегодня утром решал еще раз. Ответ знал. Получался похожий, но не такой.

(14 Июн '14 18:28) epimkin

@epimkin: геометрическое решение довольно простое. Там при желании можно устно всё посчитать. Правда, его объяснять надо, и я вчера уже не успел написать.

(14 Июн '14 18:34) falcao

@falcao, хотелось бы увидеть. До окружности-то я дошел, дальше нет

(14 Июн '14 18:38) epimkin

@epimkin: я могу изложить, но попозже. Сейчас у меня в планах немного отдохнуть после работы (я 4 пары провёл с утра).

(14 Июн '14 18:46) falcao

@falcao, не к спеху же

(14 Июн '14 18:58) epimkin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Приведу решение, основанное на геометрических соображениях. Прежде всего, у "целевой" функции можно игнорировать слагаемое $%-10$%, так как оно не влияет на разность значений. Далее, можно разделить функцию на 3, после чего разность наибольшего и наименьшего значения должна стать больше 4. Помимо этого, сменим у функции знак, поскольку это ни на что не влияет. Перед нами функция $%y-\frac23ax$%, у которой "линии уровня" (множества, где функция принимает постоянное значение) имеют вид $%y=\frac23ax+c$%, где $%c$% равно константе. Все они параллельны друг другу.

Условие, связывающее между собой переменные $%x$% и $%y$%, есть уравнение окружности $%(x-3)^2+(y+2)^2=3$%, радиус которой равен $%\sqrt3$%. При заданном $%a$% к этой окружности можно провести две касательных $%y=\frac23ax+c_1$% и $%y=\frac23ax+c_2$%. Тогда разность наибольшего и наименьшего значения равна $%|c_1-c_2|$%, а это есть не что иное как длина отрезка, получаемого пересечением оси $%Oy$% и полосы, заключённой между касательными.

Заметим, что вместо оси $%Oy$% можно взять любую параллельную ей прямую: длина отрезка не изменится. Поэтому при замене $%a$% на $%-a$% касательные симметрично отразятся относительно вертикальной оси симметрии, и длина интересующего нас отрезка останется той же. Таким образом, можно ограничиться рассмотрением случая $%a > 0$%. Случай $%a=0$% сразу отпадает, так как там отрезок имеет длину $%2\sqrt3 < 4$%.

Можно рассмотреть прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна длине нашего отрезка, один из катетов равен диаметру окружности (он перпендикулярен касательным), а угол $%\alpha$% между этим катетом и гипотенузой равен углу наклона касательной. Поэтому длина нашего отрезка получается делением числа $%2\sqrt3$% (диаметра) на косинус угла $%\alpha$%. Очевидно также, что с увеличением $%\alpha$% длина отрезка увеличивается. Выясним, при каком $%a$% длина будет в точности равна 4. Для этого косинус угла должен быть равен $%\frac{\sqrt3}2$%, то есть $%\alpha$% равен 30 градусам. Его тангенс при этом равен $%\frac1{\sqrt3}$%, а это есть не что иное как угловой коэффициент касательной, то есть $%\frac23a$%. Таким образом, "критическое" значение равно $%a=\frac{\sqrt3}2$%, а нам подходят все $%a$% с условием $%|a| > \frac{\sqrt3}2$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×96

задан
13 Июн '14 20:38

показан
695 раз

обновлен
15 Июн '14 0:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru