|
Решить уравнение: $%\sin x + \sin 2x + \sin 3x +\sin 4x+\sin 5x=0$% задан 13 Июн '14 20:57 
student |
|
$$2\sin 3x\cos 2x+2\sin 3x\cos x+\sin 3x=0$$ $$\sin 3x(4\cos^2x+2\cos x-1)=0$$ $$x=\pi k/3,k\in\mathbb{Z}$$ или $$\cos x=\frac{-1\pm\sqrt5}{4}$$ и $$x=\pm\arccos \frac{\sqrt5-1}{4}+2\pi k,k\in\mathbb{Z}$$ или $$x=\pi\pm\arccos \frac{\sqrt5+1}{4}+2\pi k,k\in\mathbb{Z}$$ отвечен 13 Июн '14 21:24 
cartesius |
|
$%\sin x + \sin 2x + \sin 3x +\sin 4x+\sin 5x=0$% Нули функции $%sinx-$%точки $% \ \pi k \ \ (k\in Z)$% являются решениями уравнения, значит умножая обе части уравнения на $% 2sinx,$% получим равносильное уравнение. $%2\sin^2 x +2\sin x \sin 2x +2\sin x\sin 3x +2\sin x\sin 4x+2\sin x \sin 5x=0 \Leftrightarrow $% $% 1-\cos2x+\cos x-\cos3x+\cos2x-\cos4x+\cos3x-cos5x+\cos4x-\cos6x=0\Leftrightarrow$% $%\Leftrightarrow 1+\cos x-(cos5x+\cos6x)=0 \Leftrightarrow 2\cos^2 \frac x2-2cos\frac{11x}2cos\frac x2=0 \Leftrightarrow $% $% \Leftrightarrow 4cos\frac x2sin\frac{5x}2sin3x=0\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x=\frac{2\pi k}5 \\ x=\frac{\pi k}3 \end{aligned} \right. (k\in Z).$% отвечен 13 Июн '14 21:47 
ASailyan Способ хороший, но ещё лучше было бы умножить на $%2\sin\frac{x}2$%, что также не приводит к появлению новых решений. Тогда в середине всё сокращается, и остаётся разность двух косинусов.
(13 Июн '14 21:55)
falcao
|
На всякий случай: вот эта формула в ряде задач может оказаться полезной.
@falcao: в школе её можно применять? Мне кажется, нет.
@student: её применять можно, если вывести. Для этого комплексные числа не обязательны. Можно сделать нечто похожее на то, что написала @ASailyan, только домножить на $%2\sin\frac{x}2$%. Тогда после превращений удвоенных произведений синусов в разности косинусов всё хорошо выходит. Это полезная штука, на самом деле. Я, помнится, применял её при решении олимпиадных задач из "Кванта".