Для поиска пропавшего самолета выделено 10 вертолетов, каждый из которых может быть использован в одном из двух районов, где самолет может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2. Как следует распределить вертолеты, чтобы вероятность обнаружения самолета была наибольшей. Найти вероятность обнаружения самолета при оптимальной процедуре поиска. Считается, что каждый вертолет обнаруживает находящийся в районе самолет с вероятностью 0,2, и поиски осуществляются каждым вертолетом независимо от других.

задан 14 Июн '14 9:28

изменен 14 Июн '14 11:10

10|600 символов нужно символов осталось
0

Решим задачу в общем виде. Пусть вертолётов $%n=10$%; вероятности нахождения самолёта в одном и другом районе обозначим через $%p=0,8$% и $%1-p=0,2$%. Вероятность обнаружения самолёта каждым из вертолётов (в том районе, где самолёт находится) удобно обозначить через $%1-q$%, где $%q=0,8$% -- вероятность необнаружения.

Пусть в первый район направили $%k$% вертолётов, а во второй $%n-k$%. Самолёт может быть в первом или втором районе; вероятности этих событий равны $%p$% и $%1-p$% соответственно. Вероятность того, что при нахождении самолёта в первом районе он никем не будет обнаружен, равна $%q^k$%. Вероятность обнаружения хотя бы одним вертолётом составит $%1-q^k$%. Для второго района эта величина составит $%1-q^{n-k}$%. Тогда по формуле полной вероятности, величина $%p(1-q^k)+(1-p)(1-q^{n-k})$% будет вероятностью обнаружения самолёта. Она равна $%1-(pq^k+(1-p)q^{n-k})$%, поэтому надо минимизировать величину, заключённую в скобки.

Положим $%t=q^k$%. Тогда минимизации подлежит величина $%f(t)=pt+\frac{(1-p)q^n}t$%, где $%t\in(0;1)$%. Легко видеть, что минимум функции вида $%At+\frac{B}t$% достигается в точке $%t$%, для которой слагаемые равны, то есть $%t^2=\frac{B}{A}$%. Этот факт легко выводится из неравенства о среднем, либо при помощи производной. Последняя равна $%A-\frac{B}{t^2}$%, и она обращается в ноль именно в этой точке. При переходе через неё производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это точка минимума.

В нашем случае получается $%q^{2k}=\frac{(1-p)q^n}p$%, то есть $%q^{2k-n}=\frac{1-p}p$%. Из этого соотношения получается $%2k-n=\log_q\frac{1-p}p=\frac{\ln(p^{-1}-1)}{\ln q}$%. Эта формула позволяет найти $%k$%, но поскольку мы не можем послать дробное, и тем более иррациональное число вертолётов, результат надо округлить до целого, причём в обе стороны, и сравнить величины между собой.

Несложные вычисления показывают, что $%2k-10\approx6,2$%, откуда $%k\approx8,1$%. Проверке и сравнению подлежат числа $%k=8$% и $%k=9$%. Формула $%1-(pq^k+(1-p)q^{n-k})$% при этом даёт значения $%0,73778$% и $%0,73262$% (приближённо). Первое значение больше, поэтому оптимальным планом будет направить 8 вертолётов в первый район и 2 во второй. Вероятность обнаружения самолёта составит при этом около $%73,8\%$%.

ссылка

отвечен 14 Июн '14 17:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,214

задан
14 Июн '14 9:28

показан
3086 раз

обновлен
14 Июн '14 17:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru