параметр - Найти a, при которых область значений функции содержится в заданном интервале

Одно терминологическое замечание: в наше время, когда я учился, различали такие понятия как "область значений" и "множество значений" функции. Под областью значений понималось то множество, из которого функции в принципе разрешается принимать значения. Для обычных числовых функций "по умолчанию" считалось, что это вся вещественная прямая (в противном случае делалась оговорка). Множество же значений функции состояло из всех значений, принимаемых функцией на её области определения. Задача установления того, какие значения функция принимает, а какие нет, в общем случае могла быть довольно сложной (в отличие от функций типа $%x^2$% или $%\sin x$%).

Сейчас, насколько я знаю, стандарт несколько поменялся, и в данном случае ясно, что речь идёт о том, что раньше именовалось множеством значений. Поэтому здесь фактически cспрашивается, при каких $%a$% двойное неравенство $$-3 < \frac{x^2+2ax-4}{x^2-2x+3} < 2$$ выполнено для всех $%x$%. Знаменатель дроби здесь всегда положителен, функция определена всюду, и на него можно произвести домножение. Получится $%-3x^2+6x-9 < x^2+2ax-4 < 2x^2-4x+6$%, что приводит к двум неравенствам $%4x^2+2(a-3)x+5 > 0$% и $%x^2-2(a+2)x+10 > 0$%, каждое из которых должно быть верно для всех $%x$%.

Рассматривая приведённые дискриминанты и требуя их отрицательности, мы приходим к условиям $%(a-3)^2 < 20$% и $%(a+2)^2 < 10$%. Следовательно, $%a$% принадлежит пересечению двух интервалов: $%(3-2\sqrt5;3+2\sqrt5)$% и $%(-2-\sqrt{10};-2+\sqrt{10})$%. Концы отрезков здесь легко сравнить по величине (ясно, что $%-2-\sqrt{10} < 3-2\sqrt5 < -2+\sqrt{10} < 3+2\sqrt5$%), откуда получается ответ $%a\in(3-2\sqrt5;-2+\sqrt{10})$%.