Найти все $%a$%, при которых область значений функции $%f(x)=\frac{x^2+2ax-4}{x^2-2x+3}$% содержится в интервале $%(-3;2)$%.

задан 14 Июн '14 20:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Одно терминологическое замечание: в наше время, когда я учился, различали такие понятия как "область значений" и "множество значений" функции. Под областью значений понималось то множество, из которого функции в принципе разрешается принимать значения. Для обычных числовых функций "по умолчанию" считалось, что это вся вещественная прямая (в противном случае делалась оговорка). Множество же значений функции состояло из всех значений, принимаемых функцией на её области определения. Задача установления того, какие значения функция принимает, а какие нет, в общем случае могла быть довольно сложной (в отличие от функций типа $%x^2$% или $%\sin x$%).

Сейчас, насколько я знаю, стандарт несколько поменялся, и в данном случае ясно, что речь идёт о том, что раньше именовалось множеством значений. Поэтому здесь фактически cспрашивается, при каких $%a$% двойное неравенство $$-3 < \frac{x^2+2ax-4}{x^2-2x+3} < 2$$ выполнено для всех $%x$%. Знаменатель дроби здесь всегда положителен, функция определена всюду, и на него можно произвести домножение. Получится $%-3x^2+6x-9 < x^2+2ax-4 < 2x^2-4x+6$%, что приводит к двум неравенствам $%4x^2+2(a-3)x+5 > 0$% и $%x^2-2(a+2)x+10 > 0$%, каждое из которых должно быть верно для всех $%x$%.

Рассматривая приведённые дискриминанты и требуя их отрицательности, мы приходим к условиям $%(a-3)^2 < 20$% и $%(a+2)^2 < 10$%. Следовательно, $%a$% принадлежит пересечению двух интервалов: $%(3-2\sqrt5;3+2\sqrt5)$% и $%(-2-\sqrt{10};-2+\sqrt{10})$%. Концы отрезков здесь легко сравнить по величине (ясно, что $%-2-\sqrt{10} < 3-2\sqrt5 < -2+\sqrt{10} < 3+2\sqrt5$%), откуда получается ответ $%a\in(3-2\sqrt5;-2+\sqrt{10})$%.

ссылка

отвечен 14 Июн '14 21:50

Здравствуйте, отрицательность дискриминантов нужна для того, чтобы не было такого, что часть x подходит, а другая часть нет, так?

(4 Апр '19 1:36) Va1tel

@Va1tel: да, это известное из школьной программы необходимое и достаточное условие того, что квадратный трёхчлен при всех x положителен (с учётом положительности старшего члена). При D>=0 есть корни, и они уже в качестве x не подходят. А при D < 0 корней нет, и парабола расположена строго выше оси Ox.

(4 Апр '19 2:01) falcao

спасибо большое вам большое!

(4 Апр '19 2:18) Va1tel
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×668
×534

задан
14 Июн '14 20:36

показан
2360 раз

обновлен
4 Апр '19 2:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru