|
Определите, под каким углом видно из начала координат (т.е. внутри какого наименьшего угла с вершиной в точке $%(0,0)$% помещается) множество, заданное на координатной плоскости неравенством: $$25x^2+xy+y^2+16x+3y+3<0$$ задан 14 Июн '14 21:06 
student |
|
Надо исследовать, при каких $%k$% прямая $%y=kx$% будет касательной к кривой, задаваемой уравнением $%25x^2+xy+y^2+16x+3y+3=0$% (этой кривой будет являться эллипс). Подставим $%y=kx$% в уравнение; получится $%(k^2+k+25)x^2+(3k+16)x+3=0$%. Нас интересует случай, когда имеет место касание, то есть решение у уравнения одно, и дискриминант обращается в ноль: $%D=(3k+16)^2-12(k^2+k+25)=-(3k^2-84k+44)=0$%. Решая квадратное уравнение, находим корни $%k_{1,2}=14\pm\frac43\sqrt{102}$% (численные значения примерно $%27,5$% и $%0,5$%). Теперь замечаем, что тангенсы углов наклона касательных равны $%k_1$% и $%k_2$%, а нас интересует разность этих углов. Можно для начала заметить, что один из углов близок к 90 градусам, а другой к 30 градусам, поэтому от разности углов можно ожидать, что она будет чуть меньше 60 градусов. По формуле тангенса разности, $%{\mathop{\rm tg}}(\alpha_1-\alpha_2)=\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}$%. Ясно, что $%k_1-k_2=\frac83\sqrt{102}$% и $%k_1k_2=\frac{44}3$% (последнее -- по теореме Виета). Поэтому тангенс разности углов равен $%\frac8{47}\sqrt{102}\approx1,719$%. Искомый угол, под которым видна кривая, равен $%{\mathop{\rm arctg}}\frac8{47}\sqrt{102}\approx1,04$%, что в градусах составляет примерно 59,8, то есть близко к 60. отвечен 14 Июн '14 22:38 
falcao @falcao: я понял, почему. Я с ошибкой перепечатал: там не 3y+3, а 2y+3. Тем не менее, всё ясно, как делается. Спасибо!
(15 Июн '14 13:26)
student
@student: мне тоже числа из решения показались несколько странными, но я вроде бы всё проверил неоднократно -- получается именно так. Может, в записи условии какая-нибудь неточность?
(15 Июн '14 13:37)
falcao
@student: теперь всё ясно! При исправлении условия метод тот же, только вместо корней из 102 получаются хорошие корни относительно $%k$%, равные 1 и 11/2. Тогда ответ получается равен $%\arctan\frac9{13}$%. Это то же самое, что у Вас, только чуть по-другому записанное.
(15 Июн '14 13:45)
falcao
Хорошо, а как преобразуется $%\arctan (9/13)$% к такому виду, как в ответе?
(15 Июн '14 13:46)
student
@student: а это очевидно, потому что оба угла острые, и достаточно проверить, что у них равны тангенсы. У Вас разность двух углов, тангенсы которых равны 1 и 2/11. По формуле тангенса разности, это $%(1-2/11)/(1+1\cdot(2/11))=9/13$%. Я думаю, моя форма ответа более предпочтительна, так как там просто арктангенс дроби.
(15 Июн '14 13:58)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|