1-е уравнение: cos(3x)-4sin(2y)+cos(x)=0

2-e уравнение: cos(2x)-2cos(x)*(2cos(y)-sin(y))+1-2sin(2y)=0

задан 15 Июн '14 1:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Второе уравнение рассматриваем как квадратное относительно $%t=\cos x$%. Оно имеет вид $%t^2-t(2\cos y-\sin y)-\sin2y=0$%, и теорема Виета сразу даёт корни $%t=2\cos y$% и $%t=-\sin y$%.

Первое уравнение, после применения формулы косинуса тройного угла $%\cos 3x=4\cos^3x-3\sin x$%, превращается в $%2\cos^3x-\cos x=2\sin2y$%. Рассмотрим два случая.

1) $%\cos x=2\cos y$%. Подстановка в предыдущее уравнение даёт $%4\cos^3y-\cos y=4\sin y\cos y$%. Если $%\cos y=0$%, то $%\cos x=0$%, и это даёт серию решений $%(x;y)=(\frac{\pi}2+\pi k;\frac{\pi}2+\pi m)$% для целых $%k,m$%.

Если $%\cos y\ne0$%, то $%4\cos^2y-1=4\sin y$%, то есть $%4u^2+4u-3=0$%, где $%u=\sin y$%. Корнями будут $%\frac12$% и $%-\frac32$%, второе значение отбрасываем. Получается $%\sin y=\frac12$%, и тогда $%\cos y=\pm\frac{\sqrt3}2$%, в результате чего $%\cos x=2\cos y=\pm\sqrt3$%, что невозможно.

2) $%\cos x=-\sin y$%. После подстановки в то же уравнение имеем $%-2\sin^3y+\sin y=4\sin y\cos y$%. Если $%\sin y=0$%, то $%\cos x=0$%, и получается серия решений вида $%(x;y)=(\frac{\pi}2+\pi k;\pi m)$% для целых $%k,m$%.

Если $%\sin y\ne0$%, то $%2\sin^2y+4\cos y=1$%, то есть $%2v^2-4v-1=0$%, где $%v=\cos y$%. Корни равны $%\frac{2\pm\sqrt6}2$%, из которых нам подходит только $%\cos y=\frac{2-\sqrt6}2$%. Тогда $%\sin y=\pm\sqrt{\frac{2\sqrt6-3}2}$%.

Если корень берётся со знаком плюс, то $%y$% лежит во второй четверти, и получается $%y=-\arccos\frac{\sqrt6-2}2+\pi(2m+1)$%, где $%m\in{\mathbb Z}$%. В этом случае $%\cos x=-\sin y=-\sqrt{\frac{2\sqrt6-3}2}$%. Это значит, что $%x=\pm\arcsin\frac{\sqrt6-2}2+\pi(2k+1)$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Это описывает ещё одну серию решений.

Наконец, если корень брался со знаком минус, то $%y$% лежит в третьей четверти, и $%y=\arccos\frac{\sqrt6-2}2+\pi(2m+1)$%, где $%m\in{\mathbb Z}$%. Теперь $%\cos x=-\sin y=\sqrt{\frac{2\sqrt6-3}2}$%. Поэтому $%x=\pm\arcsin\frac{\sqrt6-2}2+2\pi k$% для $%k\in{\mathbb Z}$%, что описывает последнюю серию решений.

При желании, можно обе серии с арксинусами и арккосинусами представить в виде одной.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 2:28

@falcao , смотрю футбол и умные книжки. Сейчас еще две напишу

(15 Июн '14 2:56) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×946

задан
15 Июн '14 1:08

показан
432 раза

обновлен
15 Июн '14 2:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru