Найти наибольшее и наименьшее значение функции

$$f(x,y)=6sinx \cdot cosy+2sinx \cdot siny+3cosx$$

задан 15 Июн '14 2:59

изменен 16 Июн '14 10:38

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Ясно, что функция непрерывна, ограничена и периодична. Поэтому наибольшее и наименьшее значение достигаются в каких-то точках. При этом частная производная по $%y$% обращается в ноль: $%-6\sin x\sin y+2\sin x\cos y=0$%. При $%\sin x=0$% функция равна $%3\cos x$%, то есть наибольшее и наименьшее значение равно $%\pm3$%.

Если $%\sin x\ne0$%, то $%\cos y=3\sin y$%, откуда $%\sin y=\pm\frac1{\sqrt{10}}$% и $%\cos y=\pm\frac3{\sqrt{10}}$% с согласованным выбором знаков. После подстановки получается $%f(x,y)=\pm2\sqrt{10}\sin x+3\cos x$%. Такая функция принимает значения от -7 до 7, где 7 получается как корень из суммы квадратов коэффициентов. Эти значения достигаются, и они будут искомыми.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 3:12

Тут на самом деле есть ещё более простое решение, не использующее производной. Я вчера это заметил, но написать уже не успел. Сначала представляем функцию как $%A\sin x+B\cos x$%, где $%A$% зависит от $%y$%, и рассматриваем сумму квадратов. Получается, что $%A=6\cos y+2\sin y$% меняется в пределах $%\pm\sqrt{6^2+2^2}$%, то есть $%A^2$% доходит до $%40$%, и $%\sqrt{A^2+B^2}$% -- до семи.

(15 Июн '14 17:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947

задан
15 Июн '14 2:59

показан
5580 раз

обновлен
15 Июн '14 17:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru