Найти минимальное значение выражения $%(x+y-z)^2$% при условии, что числа $%x,y,z$% удовлетворяют системе $$\begin{cases} 1\leq(x+y)^2\leq 4/3, \\8\leq (y+z)^2\leq 9, \\ 10\leq (z+x)^2\leq11. \end{cases}$$

задан 15 Июн '14 13:46

10|600 символов нужно символов осталось
3

Положим $%a=x+y$%, $%b=y+z$%, $%c=z+x$%. Тогда $%x+y-z=\frac12(3a-b-c)$%. Таким образом, нам надо минимизировать значение величины $%|3a-b-c|$% при условии, что $%|a|\in[1;\frac2{\sqrt3}]$%, $%|b|\in[2\sqrt2;3]$%, $%|c|\in[\sqrt{10};\sqrt{11}]$%.

Меняя, если нужно, знак у всех чисел, можно добиться того, что $%3a\in[3;2\sqrt3]$%. Мы хотим подобрать ближайшее к эти значениям число вида $%b+c$%. Понятно, что из этих чисел хотя бы одно должно быть положительно. Если положительны оба, то минимальное значение суммы равно $%2\sqrt2+\sqrt{10}$%, и оно превышает максимально возможное значение для $%3a$% на величину $%d_1=2\sqrt2+\sqrt{10}-2\sqrt3$%. Если же одно из чисел $%b$%, $%c$% положительно, а другое отрицательно, то максимум, которого можно добиться, получается, если взять наибольший из правых концов и вычесть из него наименьший из левых концов для модулей чисел, что даст нам $%\sqrt{11}-2\sqrt2$%. Это число находится на расстоянии $%d_2=3-\sqrt{11}+2\sqrt2$% от минимально возможного значения для $%3a$%.

Осталось сравнить полученные два числа. Ясно, что $%d_1-d_2=\sqrt{10}-\sqrt{12}+\sqrt{11}-\sqrt9$%, что можно переписать в виде $%(\sqrt{10}-\sqrt9)-(\sqrt{12}-\sqrt{11})=\frac1{\sqrt{10}+\sqrt9}-\frac1{\sqrt{12}+\sqrt{11}} > 0$%. Таким образом, минимальное значение получается для варианта $%d_2$%. Для него $%(x+y-z)^2=\frac14|3a-(b+c)|^2=\frac14d_2^2=\frac14(3-\sqrt{11}+2\sqrt2)^2$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 23:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×96

задан
15 Июн '14 13:46

показан
719 раз

обновлен
15 Июн '14 23:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru