Коля, Саша и Петя строят из деревянных кубиков башни двумя способами. Каждый раз они используют все кубики, количество башен у каждого мальчика одно и то же.

1 вариант: Коля складывает по 3 кубика в высоту, Саша - по 5 кубиков, Петя - по 3 кубика.

2 вариант: Коля и Петя строят по 4 кубика в высоту, а Саша - по 2 кубика.

а) Сколько было у мальчиков кубиков, если их было не менее 145 и не более 162?

б)Какое наименьшее количество кубиков надо иметь для реализации обоих вариантов, если кубиков более 2000?

в) Сколько всего способов реализации обоих вариантов, если кубиков от 3000 до 4000?

задан 15 Июн '14 14:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Условие мне показалось несколько двусмысленным, но я его понял так, что каждый из мальчиков строит одно и то же число башен для первого и для второго способа, но для разных мальчиков количество башен может быть разным.

Обозначим через $%a$%, $%b$%, $%c$% количество башен для Коли, Саши и Пети соответственно. Тогда общее число кубиков равно $%N=3a+5b+3c=4a+2b+4c$%. Отсюда $%a+c=3b$%, и $%N=14b$% кратно 14.

1) В пределах от 145 до 162 только число 154 делится на 14. Оно и будет ответом; при этом можно положить $%b=11$%, $%a+c=33$% в любом из 32 вариантов.

2) Число 2002 делится на 14, оно является наименьшим, и реализации для него существуют: $%b=143$%, $%a+c=429$%.

3) Если $%3000\le N\le4000$%, то $%215\le b\le285$%. Для каждого такого $%b$% уравнение $%a+c=3b$% имеет $%3b-1$% решение в натуральных числах, что однозначно определяет способ реализации. Поэтому остаётся просуммировать члены арифметической прогрессии. Первый член равен 644, последний равен 854, полусумма равна 749. Количество членов равно $%285-215+1=71$%. Поэтому $%S=749\cdot71=53179$%.

Может, конечно, быть, что я не так понял условие, потому что всё получается сравнительно просто. И пункт б) нисколько не сложнее пункта а).

ссылка

отвечен 15 Июн '14 17:46

@falcao: я в точности воспроизвел условие: http://alexlarin.net/ege/2014/rutrvar43.pdf С другой стороны, задачи составляли не составители ЕГЭ, и условие может быть неточным, а задача - простой.

(15 Июн '14 17:50) student

@falcao: да и в настоящем ЕГЭ обычно пункт 1 устный, пункт 2 тоже очень простой, а над пунктом 3 нужно уже думать.

(15 Июн '14 18:00) student

@student: тут как бы "криминального" ничего нет -- просто меня посетили некоторые сомнения. В точности воспроизведения условия сомнений как бы нет. Мне только по предыдущим примерам казалось, что пункт б) в задачах такого типа должен быть несколько посложнее. И тут сам "механизм" задачи простой, то есть помимо делимости на 14 ничего нет.

(15 Июн '14 18:05) falcao

@falcao: такое часто тоже бывает, например, я помню задачу, когда на доске записано одно число, а затем добавляют новые, либо прибавляя к существующему 14, либо увеличивая его на 7. В пункте а) нужно было определить, могло ли определенное число записано вначале. Работала лишь делимость на 7, и пункты б) и в) также решались только так.

(15 Июн '14 18:07) student
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×913

задан
15 Июн '14 14:12

показан
826 раз

обновлен
15 Июн '14 18:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru