Найти все $%a$%, при которых область значений функции $$f(x)=\frac{\sin x+2(1-a)}{a-\cos^2x}$$ содержит отрезок $%[1;2]$%.

задан 15 Июн '14 14:28

Очень известная задача

(15 Июн '14 16:35) epimkin

@epimkin: скиньте, если знаете, где выложено решение, пожалуйста.

(15 Июн '14 16:44) student

@epimkin: а она не была раньше на этом форуме? А то я когда писал её решение (то, что Вы поместили, пока что не прочитал), то мне какие-то числа типа 33/32 показались знакомыми. Хотя, возможно, это было deja vu.

(16 Июн '14 1:38) falcao

@falcao, возможно и была: она часто встречается. Кстати, в разных книжках разные ответы: кое где нет разрыва в интервале ответа, то есть 3/4 включено

(16 Июн '14 2:22) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

alt text

alt text

ссылка

отвечен 15 Июн '14 17:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

Переформулируем задачу, полагая $%t=\sin x$% и $%b=a-1$%: при каких $%b$% функция $%g(t)=\frac{t-2b}{t^2+b}$%, заданная на отрезке $%t\in[-1;1]$%, принимает все значения от $%1$% до $%2$%?

Прежде всего, необходимо, чтобы каждое из уравнений $%g(t)=1$% и $%g(t)=2$% имело решение на указанном отрезке. Для первого случая получается $%t^2-t+3b=0$%, то есть $%(t-\frac12)^2=\frac14-3b$%. Левая часть на отрезке $%t\in[-1;1]$% принимает все значения от $%0$% до $%\frac94$%, откуда $%b\in[-\frac23;\frac1{12}]$%. Для второго случая будет $%t^2-\frac12t+2b=0$%, то есть $%(t-\frac14)^2=\frac1{16}-2b$%. Здесь левая часть на том же отрезке принимает все значения от $%0$% до $%\frac{25}{16}$%. Тем самым, $%b\in[-\frac{3}{4};\frac1{32}]$%. В пересечении получается $%b\in[-\frac23;\frac1{32}]$%.

Осталось проверить найденное условие на предмет достаточности. При $%b > 0$% функция всюду определена и непрерывна, поэтому она принимает все промежуточные значения. Случай $%b=0$% также очевиден: функция $%g(t)=\frac1t$% принимает нужные нам значения.

Пусть $%b < 0$%. Решением уравнения $%g(t)=1$% будет число $%t_1=\frac12-\sqrt{\frac14-3b}$% (другое значение, со знаком "плюс" перед корнем будет больше единицы), а решением уравнения $%g(t)=2$% будет $%t_2=\frac14-\sqrt{\frac1{16}-2b}$%. Сравним между собой значения этих величин в зависимости от $%b$% (обе они отрицательны), а также сравним их с $%t_0=-\sqrt{-b}$%, где функция $%g(t)$% не определена.

Для удобства положим $%c=-b$%. Решая уравнение $%t_1=t_0$%, мы получим $%\sqrt{\frac14+3c}=\frac12+\sqrt{c}$%, что приводит к равенству $%2c=\sqrt{c}$%. Оно имеет место при $%c=\frac14$%; при $%c < \frac14$% будет выполнено неравенство $%t_0 < t_1$%, а при $%c > \frac14$% будет $%t_0 > t_1$%.

Аналогично, решая уравнение $%t_2=t_0$%, мы получим $%\sqrt{\frac1{16}+2c}=\frac14+\sqrt{c}$%, и здесь получается равенство $%c=\sqrt{c}/2$% с тем же решением $%c=\frac14$%. При этом для $%c < \frac14$% будет выполнено неравенство $%t_0 < t_2$%, а при $%c > \frac14$% будет $%t_0 > t_2$%.

Таким образом, мы видим, что при $%b\ne-\frac14$% функция $%g(t)$% принимает значения $%1$% и $%2$% в точках, между которыми нет точек разрыва функции. Следовательно, там все промежуточные значения принимаются. Если же $%b=-\frac14$%, то $%g(t)=\frac{t+\frac12}{t^2-\frac14}=\frac1{t-\frac12}$% не принимает значение 1 на отрезке от -1 до 1. Значит, это значение надо исключить. В итоге $%a-1\in[-\frac23;\frac1{32}]\setminus\{-\frac14\}$%, то есть $%a\in[\frac13;\frac34)\cup(\frac34;\frac{33}{32}]$%.

ссылка

отвечен 16 Июн '14 1:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×668
×534

задан
15 Июн '14 14:28

показан
2306 раз

обновлен
16 Июн '14 2:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru