Найти все значения $%a$%, при которых уравнение $$2^{-x^2}\times 4^x+\sin \frac{\pi x}{4}+\cos \frac{\pi x}{4}-2=a^3-3a^2+a+\sqrt{2}$$ имеет единственное решнеие.

задан 15 Июн '14 14:34

изменен 15 Июн '14 16:40

В правой части точно нет опечатки?

(15 Июн '14 16:37) cartesius

@cartesius была, исправил

(15 Июн '14 16:40) student
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сделаем замену $%t=x-1$%, тогда уравнение запишется в виде $$2^{1-t^2}+\sqrt{2}\cos\frac{\pi t}{4}-2=a^3-3a^2+a+\sqrt{2}$$ Оно должно иметь только нулевое решение, иначе в силу четности левой части решений будет четное число.

Подставим $%t=0$%, откуда $%a^3-3a^2+a=0$% и $%a=0$% или $%a=(3\pm\sqrt5)/2$%. Остается только сделать отбор.

При этих значениях $%a$% имеем $$2^{1-t^2}+\sqrt{2}\cos\frac{\pi t}{4}-2=\sqrt{2}$$ или $$2(1-2^{-t^2})=\sqrt2(\cos\frac{\pi t}{4}-1)$$

Правая часть не больше нуля, а левая - не меньше. Поэтому решение только одно при $%t=0$%. Поэтому подходят все три значения $%a$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 17:07

изменен 15 Июн '14 17:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×539
×484
×241

задан
15 Июн '14 14:34

показан
1212 раз

обновлен
15 Июн '14 17:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru