|
Найти все значения $%a$%, при которых уравнение $$2^{-x^2}\times 4^x+\sin \frac{\pi x}{4}+\cos \frac{\pi x}{4}-2=a^3-3a^2+a+\sqrt{2}$$ имеет единственное решнеие. задан 15 Июн '14 14:34 
student |
|
Сделаем замену $%t=x-1$%, тогда уравнение запишется в виде $$2^{1-t^2}+\sqrt{2}\cos\frac{\pi t}{4}-2=a^3-3a^2+a+\sqrt{2}$$ Оно должно иметь только нулевое решение, иначе в силу четности левой части решений будет четное число. Подставим $%t=0$%, откуда $%a^3-3a^2+a=0$% и $%a=0$% или $%a=(3\pm\sqrt5)/2$%. Остается только сделать отбор. При этих значениях $%a$% имеем $$2^{1-t^2}+\sqrt{2}\cos\frac{\pi t}{4}-2=\sqrt{2}$$ или $$2(1-2^{-t^2})=\sqrt2(\cos\frac{\pi t}{4}-1)$$ Правая часть не больше нуля, а левая - не меньше. Поэтому решение только одно при $%t=0$%. Поэтому подходят все три значения $%a$%. отвечен 15 Июн '14 17:07 
cartesius |
В правой части точно нет опечатки?
@cartesius была, исправил