Найти все $%a$%, при которых уравнение $$2^{\frac{2x}{1+x^2}}+a\cos \frac{x^2-1}{x}+a^2=5/4$$ имеет единственный корень.

задан 15 Июн '14 14:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Выражение $%\frac{2x}{1+x^2}=\frac2{x+1/x}$% не меняется относительно замены $%x$% на $%1/x$%, а выражение $%\frac{x^2-1}x=x-1/x$% при этом меняет знак, и косинус остаётся неизменным. Следовательно, вместе с решением $%x$% у уравнения имеется решение $%1/x$%. Для единственности решения необходимо условие $%x=1/x$%, то есть $%x=\pm1$%.

При $%x=1$% получается $%\frac34+a+a^2=0$%, что невозможно. При $%x=-1$% оказывается, что $%a^2+a-\frac34=0$%, то есть корнями будут $%a=-\frac32$% и $%a=\frac12$%. Разберём оба случая.

Если $%a=-\frac32$%, то $%2^{\frac{2x}{1+x^2}}-\frac32\cos\frac{x^2-1}x+1=0$%. Тот факт, что единственным решением здесь является $%x=-1$%, усматривается из следующих соображений. Наименьшим значением функции $%\frac{2x}{1+x^2}$% является $%-1$%, и оно достигается в точке $%x=-1$%. Следует это из того, что ввиду нечётности функции, такой факт равносилен тому, что наибольшее значение функции равно 1, и достигается оно при $%x=1$%, а это вытекает из неравенства о среднем: при положительных $%x$% обратная величина равна $%\frac{x+1/x}2\ge1$%.

Таким образом, $%2^{\frac{2x}{1+x^2}}+1\ge\frac32\ge\frac32\cos\frac{x^2-1}x$%, и равенство выполняется тогда и только тогда, когда $%x=-1$%.

Пусть $%a=\frac12$%. Уравнение принимает вид $%2^{\frac{2x}{1+x^2}}+\frac12\cos\frac{x^2-1}x-1=0$%. У него имеются положительные решения: если обозначить через $%f(x)$% левую часть уравнения, то $%f(1)=\frac32$%. В то же время, легко видеть, что функция принимает отрицательные значения при некоторых $%x > 0$%, так, при $%x$% стремящемся к нулю справа, выражение $%2^{\frac{2x}{1+x^2}}-1$% стремится к нулю, а слагаемое в середине принимает все значения от $%-\frac12$% до $%\frac12$%, поскольку $%x-\frac1x$% стремится к минус бесконечности, принимая при этом в том числе и такие значения, для которых косинус равен $%-1$%.

Таким образом, $%a\in\{-\frac32\}$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 15:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×562
×497
×245

задан
15 Июн '14 14:42

показан
565 раз

обновлен
15 Июн '14 15:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru