y=ln(x+sqrt(1+x^2))

задан 15 Июн '14 15:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

Эта функция сразу заставляет вспомнить таблицы интегралов: её производная равна $%\frac1{\sqrt{1+x^2}}$%. Поэтому надо разложить в ряд указанную функцию, а потом её проинтегрировать.

Для функций вида $%(1+t)^{\alpha}$% имеются стандартные формулы разложения в ряд Тейлора -- они есть в учебниках. Нас интересует случай $%\alpha=-\frac12$%. Для него разложение имеет вид $$(1+t)^{-1/2}=1-\frac12t+\frac38t^2-\cdots+(-1)^n\frac{C_{2n}^n}{4^n}t^n+\cdots\,.$$ Далее после подстановки $%t=x^2$% получается ряд для $$\frac1{\sqrt{1+x^2}}=1-\frac12x^2+\frac38x^4-\cdots+(-1)^n\frac{C_{2n}^n}{4^n}x^{2n}+\cdots\,.$$ После почленного интегрирования, с учётом равенства нулю функции из условия задачи при $%x=0$%, окончательно имеем $$\ln(x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac16x^3+\frac3{40}x^5-\cdots+(-1)^n\frac{C_{2n}^n}{4^n(2n+1)}x^{2n+1}+\cdots\,.$$

ссылка

отвечен 15 Июн '14 16:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,792

задан
15 Июн '14 15:31

показан
1981 раз

обновлен
15 Июн '14 16:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru