Катет прямоугольного треугольника равен 2, противолежащий ему угол равен $%30^{\circ}$%. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведенной из вершины прямого угла.

задан 15 Июн '14 17:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Радиусы обеих вписанных окружностей легко найти. У одного из треугольников стороны равны $%2$%, $%2$% и $%2\sqrt3$%. Поэтому площадь равна $%\sqrt3$%, полупериметр равен $%p=2+\sqrt3$%, и $%r_1=\frac{\sqrt3}{2+\sqrt3}=2\sqrt3-3$%. Второй треугольник правильный, у него $%r_2=\frac1{\sqrt3}$%.

Теперь нужно выяснить, где расположены точки касания вписанных окружностей в пределах гипотенузы исходного треугольника. Для первой из них расстояние от вершины острого угла до точки касания равно $%p-a=\sqrt3$%, что также очевидно и из тех соображений, что треугольник равнобедренный, и окружность касается катета длиной $%2\sqrt3$% в её середине. Точка касания у правильного треугольника расположена на расстоянии 1 от концов стороны. Поэтому расстояние между точками касания равно $%d=3-\sqrt3$%.

Далее надо применить теорему Пифагора, построив прямоугольный треугольник с катетами $%|r_2-r_1|$% и $%d$%. Его гипотенуза и есть расстояние между центрами окружностей. Остальное -- простые вычисления.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 18:22

@falcao: спасибо! Единственное, $%p-a=2-\sqrt{3}$%, если я ничего не путаю.

(15 Июн '14 18:47) student
1

@student: я здесь указал только вид формулы, но не назвал, что брал в качестве $%a$%. Имелось в виду $%a=2$%. Но можно взять и другую сторону -- тогда расстояния от точек касания до середины гипотенузы будут $%2-\sqrt3$% (как у Вас) и 1. В сумме будет $%3-\sqrt3$%, как и у меня. Это разные способы найти одно и то же расстояние.

(15 Июн '14 18:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025
×760

задан
15 Июн '14 17:37

показан
2446 раз

обновлен
15 Июн '14 18:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru