Найти все $%x$%, которые не являются корнями уравнения $$4\sqrt{2x^4+x^3}=a\sqrt[4]{4-a^4}(x+4x^2-8)$$ ни при каком $%a$%.

задан 15 Июн '14 18:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

При изменении $%a$% в пределах от $%0$% до $%\sqrt2$% величина $%b=a\sqrt[4]{4-a^4}$% принимает значения от $%0$% до $%\sqrt2$%, поскольку $%b^4=a^4(4-a^4)\le4$%. Для отрицательных $%a$% ситуация симметрична, поэтому вопрос переформулируется так: найти все $%x$%, которые не являются корнями уравнения $%4\sqrt{2x^4+x^3}=k(4x^2+x-8)$% ни при каком $%k\in[-\sqrt2;\sqrt2]$%.

Прежде всего, таковыми окажутся те $%x$%, для которых подкоренное выражение отрицательно, то есть $%x\in(-\frac12;0)$%. Для остальных $%x$% рассмотрим случай, когда $%k$% принимает "крайние" значения $%\pm\sqrt2$%. Возводя уравнение в квадрат и деля на 2, получим $%8(2x^4+x^3)=(4x^2+x-8)^2$%. После упрощений получится $%(7x+8)(9x-8)=0$%. Теперь можно применить метод интервалов, подставляя конкретные значения $%x$% из различных промежутков и выясняя, какие значения $%k$% им соответствуют. Прежде всего, при $%x=0$% и $%x=-\frac12$% получится $%k=0$%, то есть число, принадлежащее отрезку $%[-\sqrt2;\sqrt2]$%. Из этого можно сделать вывод, что отрезки $%[0;\frac89]$% и $%[-\frac87;-\frac12]$% дают решения уравнения при $%k$% из того же отрезка. При этом корни уравнения $%4x^2+x-8=0$% лежат за пределами указанных отрезков. Для них, очевидно, не может существовать никаких $%k$%, дающих решение уравнения, поэтому из соображений метода интервалов, с учётом найденных "крайних" значений, можно сделать вывод, что для $%x < -\frac87$% и $%x > \frac89$% решений не будет.

Таким образом, $%x\in(-\infty;-\frac87)\cup(-\frac12;0)\cup(\frac89;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 16 Июн '14 1:01

Когда пытаешься решать сам, не видишь, с какого конца подходить к решению, а когда видишь решение @falcao, удивляешься: "Какое, оказывается,несложное решение!"

(16 Июн '14 10:56) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×555
×494
×245

задан
15 Июн '14 18:16

показан
651 раз

обновлен
16 Июн '14 10:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru