Решить неравенство: $$\sqrt{\frac{4x^7-10x^3}{4x-x^3-3}}\leq x^3$$

задан 15 Июн '14 19:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут всё решается обычными способами (метод интервалов), и трудность может состоять только в сравнении близких по значению чисел.

Сразу заметим, что $%x\ge0$%. Для подкоренного выражения имеем неравенство $%\frac{2x^3(2x^4-5)}{(x-1)(x^2+x-3)}\le0$%. Обращение в ноль числителя или знаменателя происходит при $%x\in\{0;\sqrt[4]{\frac52};1;\frac{-1+\sqrt{13}}2\}$%, если рассматривать только неотрицательную полуось.

Сравним второе и четвёртое число. Полагая $%a=\frac{-1+\sqrt{13}}2$%, возведём его в четвёртую степень, опираясь на равенство $%a^2=3-a$%. Получается $%a^3=3a-a^2=4a-3$%, и далее $%a^4=4a^2-3a=12-7a=\frac{31-7\sqrt{13}}2$%. Вычитаем $%\frac52$%, и разность равна $%\frac{26-7\sqrt{13}}2=\frac{\sqrt{13}}2(2\sqrt{13}-7) > 0$%. Надо заметить, что значения получились весьма близкие.

Теперь $%0 < 1 < \sqrt[4]{\frac52} < \frac{-1+\sqrt{13}}2$%. Все корни здесь имеют нечётную кратность, и метод интервалов даёт $%x\in[0;1)\cup[\sqrt[4]{\frac52};\frac{-1+\sqrt{13}}2)$%.

Теперь осуществим возведение в квадрат, что на рассматриваемом множестве будет являться равносильным преобразованием. Неравенство, которое при этом получится, после упрощений примет вид $%\frac{x^3(x^3-2)(x^3+5)}{(x-1)(x^2+x-3)}\ge0$%. Здесь все границы интервалов те же, но добавилось число $%\sqrt[3]2$%, которое надо сравнить с тем, что уже имеется.

Прежде всего, $%a^3=4a-3=2\sqrt{13}-5$%. По тем же соображениям, что и раньше ($%\sqrt{52} > \sqrt{49}$%), оно больше двух.

Для сравнения с $%\sqrt[4]{\frac52}$% возведём обе иррациональности в 12-ю степень. Получится $%16$% и $%\frac{125}{8}$%. Понятно, что первое число больше, и опять-таки нельзя не отметить высокую степень близости.

Таким образом, $%\sqrt[4]{\frac52} < \sqrt[3]2 < \frac{-1+\sqrt{13}}2$%. Тогда от предыдущего множества останется $%x\in\{0\}\cup[\sqrt[4]{\frac52};\sqrt[3]2]$%. Это и будет ответ.

ссылка

отвечен 15 Июн '14 19:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×312

задан
15 Июн '14 19:01

показан
617 раз

обновлен
15 Июн '14 19:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru