(X-y)(y-z)(z-x)>=1

Min(X+y+z)=? X,y,z>=0

задан 16 Июн '14 1:13

изменен 16 Июн '14 1:15

10|600 символов нужно символов осталось
3

Среди чисел $%x-y$%, $%y-z$%, $%z-x$% имеется хотя бы одно положительное. Без ограничения общности, пусть $%x-y > 0$% (в противном случае применим циклический сдвиг). Легко видеть, что при этом $%x > z > y$%. Положим $%u=x-z$%, $%v=z-y$% (оба числа положительны). Тогда условие имеет вид $%uv(u+v)\ge1$%, а минимизировать надо функцию $%u+2v+3y$%. Ясно, что можно положить $%y=0$%. Поскольку $%v^2+uv\ge\frac1u$%, имеет место неравенство $%(u+2v)^2\ge\frac4u+u^2$%.

Функция $%f(u)=\frac4u+u^2$% при $%u > 0$% достигает своего наименьшего значения в точке, для которой $%f'(u)=2u-\frac4{u^2}=0$%, то есть при $%u=\sqrt[3]2$%. Таким образом, $%(u+2v)^2\ge3u^2=3\sqrt[3]4$%, то есть $%u+2v\ge\sqrt3\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[6]{108}$%. Оно достигается при $%v=\frac{\sqrt3-1}2\cdot\sqrt[3]2$%.

ссылка

отвечен 16 Июн '14 3:21

@falcao, спасибо. Это я для себя. Думал легкое вначале, а сделать не смог

(16 Июн '14 12:44) epimkin

@epimkin: это хорошая задача. Я когда начинал решать, то первым делом получил неравенство $%x-y\ge\sqrt[3]4$% для разности самого большого и самого маленького числа. После чего у меня возникло естественное предположение, что третье число расположено посередине. Но когда стал пытаться это доказывать, ничего не получилось. Оказалось, что оптимальное расположение совсем не такое, и это мне понравилось.

(16 Июн '14 13:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,860

задан
16 Июн '14 1:13

показан
449 раз

обновлен
16 Июн '14 13:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru