алгебра - Наименьшее значение

Среди чисел $%x-y$%, $%y-z$%, $%z-x$% имеется хотя бы одно положительное. Без ограничения общности, пусть $%x-y > 0$% (в противном случае применим циклический сдвиг). Легко видеть, что при этом $%x > z > y$%. Положим $%u=x-z$%, $%v=z-y$% (оба числа положительны). Тогда условие имеет вид $%uv(u+v)\ge1$%, а минимизировать надо функцию $%u+2v+3y$%. Ясно, что можно положить $%y=0$%. Поскольку $%v^2+uv\ge\frac1u$%, имеет место неравенство $%(u+2v)^2\ge\frac4u+u^2$%.

Функция $%f(u)=\frac4u+u^2$% при $%u > 0$% достигает своего наименьшего значения в точке, для которой $%f'(u)=2u-\frac4{u^2}=0$%, то есть при $%u=\sqrt[3]2$%. Таким образом, $%(u+2v)^2\ge3u^2=3\sqrt[3]4$%, то есть $%u+2v\ge\sqrt3\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[6]{108}$%. Оно достигается при $%v=\frac{\sqrt3-1}2\cdot\sqrt[3]2$%.