теория-вероятностей - Задача на вероятность сложных событий

Пусть сделано $%n$% выстрелов. Вероятность того, стрелок ни разу не попал, равна $%(1-p)^n$%. Следовательно, $%1-(1-p)^n$% -- вероятность того, что он хотя бы один раз попал. Она должна быть не меньше $%p_1$%, что равносильно неравенству $%1-(1-p)^n\ge p_1$%, то есть $%1-p_1\ge(1-p)^n$%. Прологарифмируем по основанию $%1-p < 1$% (в случае, если $%p=1$%, когда попадание происходит наверняка, достаточно одного выстрела; при $%p=0$% никакого количества выстрелов не хватит). Логарифмическая функция с таким основанием убывает, поэтому знак неравенства меняется. Получится $%\log_{1-p}{(1-p_1)}\le n$%. Таким образом, нужно сделать не меньше $%\log_{1-p}{(1-p_1)}$% выстрелов. Для удобства вычислений можно записать эту величину в виде $%\ln(1-p)/\ln(1-p_1)$%.

Например, если мы попадаем в цель с вероятностью 0,7, а надо попасть хотя бы один раз с вероятностью 0,9, то указанная выше величина приближённо равна 1,912, и мы округляем её до ближайшего целого числа в сторону увеличения и получаем, что сделать надо два выстрела. Или такой пример: пусть мы попадаем с вероятностью всего лишь 1 раз из 10, а надо попасть с вероятностью 0,9. Тогда вычисление по формуле показывает, что требуется 22 выстрела.