Решить уравнение: $$\cos x/2 \times \sqrt{5\cos(2x-\pi)+8\sin(x+\pi/2)-5}+\sin x/2 \times \sqrt{2\cos x}=0.$$

задан 16 Июн '14 16:52

10|600 символов нужно символов осталось
2

Никогда не понимал этого явления, когда в сравнительно сложных задачах составители заставляют преодолевать примитивные препятствия типа применения формул приведения. Это примерно как если бы вместо числа 8 написали бы (4+1+3), желая проверить, умеют ли люди складывать числа.

Итак, под знаком корня находится выражение, равное $%-5\cos2x+8\cos x-5=8\cos x-10\cos^2x$%. Заметим, что при $%\cos x=0$% сразу получается решения уравнения. Поэтому далее будем исходить из условия $%\cos x > 0$%, деля уравнение на $%\sqrt{2\cos x}$%. Получится $%\cos\frac{x}2\cdot\sqrt{4-5\cos x}+\sin\frac{x}2=0$%.

Очевидно, что $%\cos\frac{x}2\ne0$%, поэтому уравнение можно записать в виде $%\sqrt{4-5\cos x}=-\tan\frac{x}2$%. Таким образом, $%\tan\frac{x}2\le0$%, и при этом условии можно возвести в квадрат, получая $%4-5\cos x=\tan^2\frac{x}2=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$%.

После замены $%y=\cos x$% и упрощений получится $%y^2=\frac35$%. Это значит, что $%\cos2x=2y^2-1=\frac15$%. Теперь можно заключить, что $%x=\pm\frac12\arccos\frac15+\pi k$%, где $%k\in\mathbb Z$%, но надо ещё учесть то, что тангенс половинного угла не положителен. Это делается легко с учётом того, что $%\frac{x}2=\pm\alpha+\frac{\pi k}2$%, где $%\alpha$% -- острый угол, а при добавлении $%\frac{\pi}2$% к аргументу происходит смена знака у тангенса. Поэтому при чётных $%k$% берётся знак минус, а при нечётных -- плюс. Вместе это можно записать как $%x=\frac{(-1)^{k+1}}2\arccos\frac15+\pi k$%. Есть также серия решений $%x=\frac{\pi}2+\pi m$% ($%m\in\mathbb Z$%), найденная в начале.

ссылка

отвечен 16 Июн '14 22:49

1

@falcao: пока что прочитал только первый абзац, и не могу не согласиться. Ещё любят "баловаться" этим составители ЕГЭ... При этом, кстати, отсеивается большое число абитуриентов. Я могу понять, почему так делается на ЕГЭ, но эта задача, кажется, с МГУ..

(16 Июн '14 22:53) student
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×647

задан
16 Июн '14 16:52

показан
392 раза

обновлен
16 Июн '14 22:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru