|
В треугольнике $%ABC \angle B= 50^{\circ}, BC=3$%, на высоте $%BH$% взята такая точка $%D$%, что $%\angle ADC=130^{\circ}, AD=\sqrt3$%. Найдите угол между прямыми $%AD$% и $%BC$%, а также $%\angle CBH$%. задан 16 Июн '14 16:54 
student |
|
Здесь можно решать по принципу "от обратного", заметив, что два угла из условия составляют в сумме 180 градусов (50 и 130). Так бывает в случае точки пересечения высот, что верно всегда, и доказывается прямым подсчётом углов. То есть, если $%D'$% -- точка пересечения высот, то $%AD'C$% равен $%180^{\circ}$% минус $%ABC$%. Поскольку обе точки $%D$% и $%D'$% лежат на одном и том же отрезке $%BH$%, то из равенства углов следует, что они должны совпадать. Действительно, если точку $%D$% сдвигать ближе к вершине $%B$%, то угол $%ADC$% будет уменьшаться, и наоборот. Следует это, например, из рассмотрения внешних углов, которые больше внутренних, не смежных с ними. Итак, $%D$% -- точка пересечения высот, откуда ясно, что угол между $%AD$% и $%BC$% прямой. Далее, в одной из ранее обсуждавшихся задач для этих случаев использовались равенства $%AD=2R\cos\alpha$% и $%BC=2R\sin\alpha$%. Здесь их надо применить, и тогда будет ясно, что тангенс угла $%\alpha$% равен $%BC:AD=\sqrt3$%, то есть угол равен 60 градусам. Тогда на угол при вершине $%C$% приходится 70 градусов, а $%CBH$% вместе с ним даёт прямой угол, то есть он равен $%20^{\circ}$%. отвечен 16 Июн '14 22:03 
falcao @falcao: я почему-то всегда думал, что составители ЕГЭ придумывают новые "сюжеты" каждый раз - это та задача прошлая была с AD=2Rcosα и BC=2Rsinα с прошедшего ЕГЭ, а оказалось, что это уже "обыгрывалось" давно на вступительных...
(16 Июн '14 23:17)
student
@student: вещи такого типа часто повторяются, в том числе на олимпиадах, и вообще где угодно. В принципе, я не уверен, что полагалось решать именно с использованием этого соотношения. Я просто вспомнил про него и решил сослаться. Но там, вполне возможно, рассмотрения каких-нибудь подобных треугольников достаточно.
(16 Июн '14 23:36)
falcao
@falcao: решение, например, на РешуЕгэ http://reshuege.ru/test?id=5317688 (внизу кнопка Проверить, и выйдут решения) (авторское) очень длинное и долгое, а редакция РешуЕгэ привела соотношение с тангенсом как как бы уже само собой разумеющееся, но это ведь не так, и это надо выводить, верно?
(17 Июн '14 10:53)
student
|