Пирамида $%SABCD$% с боковыми ребрами $%AS=BS=CS=2$% вписана в сферу радиуса $%5/3$%. Линия пересечения плоскостей $%ASD$% и $%BSC$% касается сферы. Найдите объем пирамиды, если $%AB=BC=8/5$%.

задан 16 Июн '14 16:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%P$% -- проекция точки $%S$% на плоскость $%ABC$%. Положим $%h=SP$% -- это высота пирамиды. Точка $%P$% равноудалена от вершин треугольника $%ABC$%, поскольку это верно для точки $%S$%. Пусть $%r$% -- радиус окружности, описанной около $%ABC$%. Тогда из треугольника $%SAP$% по теореме Пифагора получается $%r^2+h^2=4$%.

Центр $%O$% описанной сферы также равноудалён от вершин треугольника $%ABC$%, поэтому $%O$% лежит на прямой $%SP$%. Мы знаем, что $%OS=5/3$%, и также что $%SP=h$%, поэтому $%OP=|\frac53-h|$%. Рассматривая треугольник $%OAP$%, мы по теореме Пифагора имеем $%r^2+(\frac53-h)^2=(\frac53)^2$%.

Из двух уравнений, связывающих между собой $%r$% и $%h$%, легко найти обе эти величины. Вычитая из первого уравнения второе, имеем $%\frac53(2h-\frac53)=2^2-(\frac53)^2=\frac{11}9$%, поэтому $%h=\frac65$%. Тогда $%r=\sqrt{4-h^2}=\frac85$%. Это значит, что треугольники $%PAB$% и $%PBC$% равносторонние. Угол $%ABC$% равен 120 градусам.

Установим положение точки $%D$%. Прежде всего, линия пересечения плоскостей $%ASD$% и $%BSC$% лежит в касательной плоскости, проведённой к сфере в точке $%S$%, и эта плоскость перпендикулярна радиусу $%OS$%, который перпендикулярен основанию пирамиды. Это значит, что касательная плоскость параллельна основанию, а потому линия пересечения двух плоскостей параллельна как $%BC$%, так и $%AD$%. Тем самым, $%ABCD$% является трапецией, причём равнобочной. С учётом найденных величин углов, она состоит из трёх правильных треугольников со стороной $%\frac85$%. Поэтому её площадь равна $%S=3\cdot\frac{\sqrt3}4(\frac85)^2$%. Отсюда выражается объём пирамиды: $%V=\frac13Sh=\frac{\sqrt3}4\cdot\frac{64}{25}\cdot\frac65=\frac{96}{125}\sqrt3$%.

ссылка

отвечен 17 Июн '14 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,709
×471

задан
16 Июн '14 16:56

показан
832 раза

обновлен
17 Июн '14 23:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru