имеется набор из 29 чисел "11 13 15 17 ... 67 69" из них выбираются 7 чисел А - четвертое по величине из выбранных чисел В - среднее арифметическое этих 7 чисел Вопросы: Может ли B - A = 1/7 Может ли B - A = 2/7 Найдите наибольшее значение B - A?

задан 16 Июн '14 23:58

изменен 17 Июн '14 21:19

Deleted's gravatar image


126

Там 30 чисел или 29?

(17 Июн '14 1:00) cartesius

@Светлана65, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(17 Июн '14 21:19) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

Чисел в данном наборе вообще-то не 29, а 30. Но на решение это не влияет.

Запишем семь чисел в виде $%2k_i+1$%, где $%5\le k_1 < k_2 < \ldots < k_7\le34$%. Тогда $%A=2k_4+1$% и $%B=\frac27(k_1+\cdots+k_7)+1$%. Разность составляет $%B-A=\frac27(k_1+k_2+k_3)-\frac{12}7k_4+\frac27(k_4+k_5+k_6)$%. После умножения на 7 получается чётное число, поэтому значение 1/7 возникнуть не может.

Если семь чисел взять подряд (например, от 11 до 23), то число посередине (это 17) будет равно среднему арифметическому. Если последнее число увеличить на 2, то есть взять 25 вместо 23, то четвёртое по величине число не изменится, а среднее арифметическое увеличится на 2/7. Так что ответ на второй вопрос положителен.

Чтобы максимизировать $%B-A$%, зафиксируем $%k=k_4$%, и возьмём все остальные числа максимально возможными, так как они идут с положительными коэффициентами. При этом получится, что $%k_1=k-3$%, $%k_2=k-2$%, $%k_3=k-1$%, $%k_5=32$%, $%k_6=33$%, $%k_7=34$% (три последних номера берём самими большими). В итоге получится $%B-A=\frac27(3k-6)-\frac{12}7k+\frac27(32+33+34)=\frac{186-6k}7$%. Теперь надо взять $%k$% наименьшим возможным, то есть четвёртым по счёту среди номеров. Это $%k=8$%. Получится $%B-A=\frac{138}7$%, и это значение достигается, если из списка взять 4 самых маленьких и 3 самых больших числа, то есть 11, 13, 15, 17, 65, 67, 69.

Замечание. Здесь в некоторых местах речь идёт о числах списка, а в других говорится об их номерах $%k_i$%, то есть за этой разницей нужно внимательно следить.

ссылка

отвечен 17 Июн '14 0:57

изменен 17 Июн '14 21:31

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%2k_1+1,\ldots 2k_7+1$% - выбранные 7 чисел, расположенные в порядке убывания. Тогда $%A=2k_4+1$% и $%B=2/7(k_1+\ldots+k_7)+1$%. Но тогда $%B-A=\frac{2(k_1+\ldots+k_7)-14k_4}{7}$%.

Ясно, что в числителе - четное число, поэтому $%B-A$% не может быть равно $%1/7$%.

$%2/7$% может быть: пример $%25,21,19,17,15,13,11$%.

Ясно также, что для достижения максимума первые три числа должны быть максимальными: $%69,67,65$%, далее идет $%2k_4+1$%, а дальше - $%2k_4-1,2k_4-3,2k_4-5$%. При этом $%7< k_4<32$%. И $%B-A=\frac{2(34+33+32+k_4+k_4-1+k_4-2+k_4-3)-14k_4}{7}=(186-6k_4)/7$%. Ясно, что максимум достигается при наименьшем возможном $%k_4$%, то есть $%k_4=8$%. Тогда $%B-A=138/7$%.

ссылка

отвечен 17 Июн '14 1:08

изменен 17 Июн '14 1:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×320

задан
16 Июн '14 23:58

показан
765 раз

обновлен
17 Июн '14 21:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru