Прошу помочь мне разжевать теорему Гаусса-Остроградского. Где не искал - везде поверхностно все.
Пример задачи которую нужно решить:
Определить поток векторного поля "a" через поверхность S
a = xi-2yj-zk
S= {1-z=x^2+y^2; z=0}

задан 17 Июн '14 17:39

Находите дивергенцию векторного поля. В данном случае получается постоянная функция. Дальше интегрируете эту функцию по объёму тела, ограниченного замкнутой поверхностью $%S$%. То есть это фактически задача на вычисление тройного интеграла. Интегрирование там идёт по единичному кругу в плоскости $%Oxy$% от $%z=0$% до $%z=1-x^2-y^2$%.

(17 Июн '14 20:40) falcao

Тоесть каждый из трех интегралов будет от 0 до 1-x^2-y^2?

(18 Июн '14 0:55) Flashik

Нет, не так. Тройной интеграл здесь сводится к двойному, а последний лучше считать в полярных координатах. Поэтому будет следующее: $$\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^1r(1-r^2)\,dr.$$ И надо не забыть в конце умножить на дивергенцию, которая здесь постоянна и равна $%-2$%.

(18 Июн '14 1:09) falcao

Последняя формула меня немного запутала. Так от какого до какого числа считать интегралы?

(18 Июн '14 1:19) Flashik

Формула, которую я указал, содержит всю информацию в явном виде. Пределы там непосредственно указаны: от 0 до $%2\pi$% и от 0 до 1. А сами интегралы -- проще некуда.

(18 Июн '14 2:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

@falcao, вы не могли бы расписать решение?

ссылка

отвечен 25 Мар '15 16:48

@falcao Хорошо, как найти дивергенцию векторного поля?

(25 Мар '15 17:39) userkos

@userkos: такого вопроса, честно говоря, не ожидал. Формула для дивергенции есть в любом учебнике. Можно даже Википедию открыть.

(25 Мар '15 22:03) falcao

@userkos: да, конечно -- в полном соответствии с определением. Надо заметить, что здесь само векторное поле так выбрано, чтобы дивергенция находилась совсем просто и была постоянной. В общем случае это может быть и не так.

(26 Мар '15 20:49) falcao

@userkos: это примерно то же, как и для формулы площади криволинейной трапеции. Пусть тело задано так: его проекция на плоскость $%Oxy$% есть область $%S$%, а оно само в пределах $%S$% расположено между графиками функций $%z=f(x,y)$% (снизу) и $%z=g(x,y)$% (сверху). Тогда объём тела, равный тройному интегралу $%\iiint_Vdx\,dy\,dz$% равен $%\iint_S\,dx\,dy\int_{f(x,y)}^{g(x,y)}\,dz=\iint_S(g(x,y)-f(x,y))dx\,dy$%. Это и есть сведение тройного интеграла к двойному.

(26 Мар '15 21:16) falcao

и последний вопрос: Как посчитать последний полученный интеграл в полярных координатах?

(26 Мар '15 21:39) userkos

@userkos: здесь как бы два вопроса. Один из них: как перейти к полярным координатам от декартовых? Это делается при помощи формул полярной замены: $%x=r\cos\varphi$%, $%y=r\sin\varphi$%. При этом $%x^2+y^2$% превращается в $%r^2$%, а $%dx\,dy$% превращается в $%r\,dr\,d\varphi$% (с учётом якобиана). Если эти замены сделать, то получится то, что у меня описано. А интеграл становится самым обычным, и вычисляется по обычным правилам. Ясно, что $%\int_0^{2\pi}d\varphi=2\pi$%, а интеграл от $%r$% есть интеграл от многочлена, и он вычисляется по табличным формулам интегрирования.

(26 Мар '15 21:55) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×34

задан
17 Июн '14 17:39

показан
818 раз

обновлен
26 Мар '15 21:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru