дифференциальные-уравнения - Решить уравнение методом Лагранджа

Однородное уравнение $%y''+2y'+y=0$% имеет общее решение вида $%(C_1x+C_2)e^{-x}$%. Применяя метод вариации постоянной, будет искать общее решение неоднородного уравнения в виде $%y(x)=C(x)e^{-x}$%, где $%C(x)$% -- некоторая функция.

Находим первую и вторую производную; подставляем в неоднородное уравнение. После упрощений получится $%C''(x)e^{-x}=xe^x+\frac1{xe^x}$%, то есть $%C''(x)=xe^{2x}+\frac1x$%. Остаётся два раза проинтегрировать: $%C'(x)=\frac12xe^{2x}-\frac14e^{2x}+\ln|x|+c_1$%, и далее $%C(x)=\frac14xe^{2x}-\frac14e^{2x}+x\ln|x|-x+c_1x+c_2$%. Коэффициент при $%x$%, равный $%c_1-1$%, для удобства переименуем в $%c_1$%. В итоге будет $%y=\frac14xe^x-\frac14e^x+e^{-x}x\ln|x|+e^{-x}(c_1x+c_2)$%.