Мы все знаем, как найти множество значений функции вида $%a \sin x + b \cos x$%, а как быть с функцией вида $%\sin x + \sin (kx), k=const $%? Можно ли что-то придумать в общем виде?

задан 20 Июн '14 20:00

1

Вопрос хороший. Я думаю, здесь возможно полное описание с подразделением на несколько случаев. Кое-какие из них я исследовал, но пока что не всё до конца. Надеюсь до завтрашнего дня разобраться.

(21 Июн '14 1:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Запишу то, что удалось исследовать. Прежде всего, ясно, что множество значений функции содержится в отрезке $%[-2;2]$%. Рассмотрим необходимое и достаточное условие для того, чтобы имело место совпадение.

Ввиду нечётности функции, множество её значений симметрично относительно нуля. Поэтому достаточно проверить случай, когда функция принимает значение 2 в некоторой точке. Ясно, что при этом $%\sin x=\sin kx=1$%, то есть $%x=\frac{\pi}2(1+4m)$% и $%kx=\frac{\pi}2(1+4n)$% для некоторых $%m,n\in{\mathbb Z}$%. Очевидно, $%x\ne0$%, и тогда $%k=\frac{4n+1}{4m+1}$% -- рациональное число. Заметим, что полученная здесь дробь может оказаться сократимой.

Условие рациональности числа $%k$% является только необходимыми, но не достаточным. Выясним, что ещё должно выполняться. Представим $%k$% в виде несократимой дроби: $%k=\frac{p}q$%. Тогда по правилу пропорции имеет место равенство $%p(4m+1)=q(4n+1)$%. Это число должно быть нечётное, так как $%p$% и $%q$% не могут быть чётными одновременно. Значит, сами числа $%p$% и $%q$% нечётны, и тогда при делении на 4 они могут давать в остатке 1 или 3. Из полученного равенства ясно, что эти остатки одинаковы. Нетрудно видеть, что это условие уже будет достаточным. Скажем, дробь типа $%k=\frac{5}{29}$% уже представлена в нужном виде, и при $%x=\frac{29\pi}2$% оба синуса примут значение, равное 1. Если же дробь в несократимой форме представлена как отношение двух чисел вида $%4d+3$%, скажем, $%k=\frac{19}7$%, то после домножения числителя и знаменателя на 3 мы получим дробь $%\frac{57}{21}=\frac{4n+1}{4m+1}$%. Ясно, что при $%x=\frac{21\pi}2$% оба синуса также будут равны 1.

Итак, мы пришли к выводу, что для совпадения множества значений функции с отрезком $%[-2;2]$%, необходимо и достаточно, чтобы $%k$% было рациональным числом, которое в представлении несократимой дробью имеет нечётные числитель и знаменатель, с одним и тем же остатком от деления на 4.

Скажем, функция $%f(x)=\sin x-\sin\frac{x}3$% будет иметь "полное" множество значений за счёт того, что $%k=\frac{-1}3$% имеет требуемый вид.

Разберём теперь случай иррационального $%k$% и докажем, что в этом случае множеством значений будет открытый интервал $%(-2;2)$%. Мы уже выяснили, что отрезка здесь нет, и потому достаточно доказать, что при подходящем выборе точки $%x$% получится так, что $%\sin x=1$%, а $%\sin kx$% к единице сколь угодно близок.

Здесь придётся воспользоваться теоретико-числовым фактом, который говорит о приближениях иррациональных чисел рациональными. Доказательство можно найти во многих учебниках по теории чисел. Оно основывается на свойствах цепных дробей или на свойствах последовательностей Фарея. Факт представляет и самостоятельный интерес, а состоит он в том, что иррациональное число $%\alpha$% можно приближённо представить рациональным как бы с двойной точностью. Не составляет труда подобрать такую дробь вида $%\frac{p}q$%, чтобы точность приближения составляла $%\frac1q$%. Оказывается, при $%\alpha\notin\mathbb Q$% всегда существует бесконечное множество несократимых дробей вида $%\frac{p}q$%, для которых $%\left|\alpha-\frac{p}q\right| < \frac1{q^2}$%.

При помощи этого факта нетрудно осуществить то, что нам нужно. Прежде всего, при $%q\gg1$% дробь $%\frac{4p+1}{4q+1}$% близка к дроби $%\frac{p}q$% со всё той же "двойной точностью" (погрешность не превосходит $%Cq^{-2}$% для некоторой константы). После домножения на число $%4q+1$% и на $%\frac{\pi}2$% мы получим числа $%x$% и $%kx$%, у одного из которых синус равен 1, а у другого значение аргумента можно сделать сколь угодно близким к числу, синус которого равен 1. Это нам и надо было установить.

Наконец, остался пока не рассмотренным случай рациональных $%k$%, не удовлетворяющих условию, о котором шла речь выше. В этом случае вопрос сводится к поведению функций вида $%f(x)=\sin px+\sin qx$%, где $%p$% и $%q$% целые взаимно простые. Функция тут будет периодична, поэтому множеством её значений будет отрезок вида $%[-c;c]$%, где $%c < 2$% зависит от $%p$% и $%q$%. Здесь трудно дать полное описание ввиду большого разнообразия ответов. Так, можно вручную найти значение $%c$% для функций типа $%\sin2x+\sin x$% или $%\sin3x+\sin x$%. Общий метод нахождения точек экстремума там стандартный (нахождение нулей производной), и с учётом формул для кратных углов, задача сводится к решению алгебраических уравнений относительно синуса или косинуса. Эти уравнения в общем случае могут иметь высокую степень, поэтому ответы могут иметь достаточно сложный вид. Это будут какие-то алгебраические числа, которые можно охарактеризовать через уравнения, и можно также найти их приближённые значения с заданной точностью. То что-то более определённое в общем виде сказать затруднительно.

ссылка

отвечен 22 Июн '14 3:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×668

задан
20 Июн '14 20:00

показан
1298 раз

обновлен
22 Июн '14 3:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru