|
Сколькими способами можно поставить цифры от 1 до 9 вместо букв так, чтобы все неравенства выполнялись? $$a>b>c\\ \vee \text{ }\text{ } \vee \text{ }\text{ } \vee \\ d>e>f \\ \vee \text{ }\text{ } \vee \text{ }\text{ } \vee \\ g>h>i \\$$ задан 20 Июн '14 20:25 
student |
|
Мне не пришло в голову ничего лучшего, чем вариант полного перебора. Прежде всего, ясно положение цифр 1 и 9. Числа 2 и 3 либо находятся в одной строке с 1, либо в одном столбце, либо по соседству с ней. То же верно относительно расположения 7 и 8 по отношению к 9. Рассмотрим сначала варианты, когда там и там имеет место случай "соседства". Тогда порядок расположения чисел 2 и 3 на местах f и h может быть любым из двух. То же для чисел 7 и 8 на местах b и d. Это даёт 4 случая, и для каждого из них оставшиеся числа 4, 5, 6 расставляются по диагонали любым из $%3!=6$% способов. Итого будет 24 варианта. Случай, когда нет "соседства", условно назовём "линией" (строка или столбец). Пусть в обоих углах наблюдается именно такой случай. Ясно, что получается или две строки, или два столбца. Между ними порядок расположения 4, 5, 6 однозначно определён. Это ещё 2 варианта. Пусть для 1 имеет место случай "линия", а для 9 случай "соседство". Можно переводить строки в столбцы при помощи отражения относительно диагонали, и можно менять местами "соседей". Это приводит к умножению числа вариантов на 4. Поэтому считаем, что 3, 2 стоят на полях g, h, а 8, 9 -- на b, d соответственно. Тогда 4 стоит на f, а 5 и 6 как угодно занимают позиции c, e. Итого 8 способов. Ровно столько их будет для случая, когда для 1 имеется "соседство", а для 9 "линия". Окончательно имеем $%24+2+8+8=42$% способа. отвечен 21 Июн '14 18:22 
falcao |