Сколькими способами можно выписать в ряд числа $%1,2,3,4,5,6$% так, чтобы для любых трех подряд идущих чисел $%a,b,c$% величина $%ac-b^2$% была кратна 7?

задан 20 Июн '14 20:37

10|600 символов нужно символов осталось
3

Задача хорошо решается в алгебраических терминах. На множестве чисел от 1 до 6 можно задать операцию "умножения", сначала перемножая числа, а затем беря остаток от деления на 7. Это так называемое "умножение по модулю 7", оно обладает всеми "хорошими" алгебраическими свойствами типа сочетательного и переместительного закона. Единица при этом обладает свойством "нейтрального" элемента, то есть при умножении на неё число не изменяется. Также верно то, что каждый элемент обладает "обратным", то есть таким, что при "умножении" на него получается 1.

Для простоты будем обозначать операцию как обычное умножение, а для "обратных" элементов введём обозначение $%x^{-1}$%. Легко проверить (через умножение), что $%1^{-1}=1$%, $%2^{-1}=4$%, $%3^{-1}=5$%, $%4^{-1}=2$%, $%5^{-1}=3$%, $%6^{-1}=6$%. Это значит, на алгебраическом языке, что данные элементы образуют группу относительно указанной операции.

Обычным образом вводится операция деления по формуле $%x/y=x\cdot y^{-1}$%. Тогда, если числа $%a$%, $%b$%, $%c$% идут подряд, то равенство $%ac=b^2$% из условия можно переписать в виде $%a/b=b/c$%, а это значит, что выписанные в ряд числа образуют "геометрическую прогрессию": при переходе от числа к следующему происходит умножение на одно и то же число $%q$%.

Посмотрим, какие значения может принимать $%q$%. Очевидно, $%q\ne1$%, так как числа не повторяются. Также ясно, что $%q\ne6$%, так как в противном случае числа повторятся через одно за счёт того, что $%6^2=1$%. Не подходит $%q=2$%, поскольку $%2^3=1$%, и тогда первое число станет равно четвёртому. По этой же причине не подходит и $%q=4$%, поскольку $%4^3=1$%.

Остаются только два варианта: $%q=3$% и $%q=5$%. Образуем такую последовательность для числа 1, умножая каждый раз на 3. Получится 1, 3, 2, 6, 4, 5. Заметим две вещи. Первая: при умножении на 3 последнего числа получается первое. Это говорит о том, что ряд можно начинать с любого числа. Вторая: переходу от числа к предыдущему соответствует его умножение на $%5=3^{-1}$%. Это значит, что можно вместо трёх умножать на пять с тем же эффектом.

Из сказанного следует полное описание всех способов. Их имеется ровно $%12$%. Шестью способами мы выбираем начало, и двумя -- направление (вперёд или назад).

ссылка

отвечен 21 Июн '14 1:12

Кстати, вопрос, не связанный непосредственно с задачей, но вспомнил об этом, когда вы писали об "обратных" элементах: в англоязычной литературе вместо $%\arcsin (x)$% используется $%\sin^{-1} x$%. Это видимо, потому, что $%f^{-1}$% - обратная функция к $%f$%. Но ведь это неправильно, потому что легко спутать с возведением в степень?

(21 Июн '14 10:33) student
1

Когда мы выбираем какие-то обозначения, то сами заботимся о том, чтобы не было двусмысленностей. Обозначение вида $%\sin^{-1}$% в качестве арксинуса хотя и возможно, но нежелательно. Прежде всего потому, что синус как функция, заданная на всей прямой, не имеет обратной. Арксинус является обратной функцией не для синуса, а для его ограничения на область определения $%[-\pi/2;\pi/2]$%. Тогда надо для такой функции ввести символ $%f$%, и обратную функцию можно обозначать в виде $%f^{-1}$%, но тогда следует договориться, что $%\frac1{f(x)}$% будет значить $%(f(x))^{-1}$%.

(21 Июн '14 12:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,407

задан
20 Июн '14 20:37

показан
1218 раз

обновлен
21 Июн '14 12:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru