множества - Сколько элементов содержит объединение всех множеств?

По условию, любые два множества имеют в точности один общий элемент. В таких случаях бывает удобен геометрический язык. Назовём наши множества "точками", а их элементы -- "прямыми". Кавычки далее будем опускать. Тот факт, что элемент $%a$% принадлежит множеству $%A$%, будет трактоваться как прохождение прямой $%a$% через точку $%A$%. Оказывается, что через две различные точки проходит одна и только одна прямая, а через всякую точку у нас проходит ровно 45 прямых.

Докажем, что все наши точки лежат на одной прямой. После этого будет легко подсчитать число прямых. Предположим противное, и установим, что на прямой может лежать не более 45 точек. Возьмём произвольную прямую $%a$%, и пусть $%A_1$%, ... , $%A_n$% -- все лежащие на ней точки. По предположению, это не все точки, поэтому найдётся отличная от них точка $%A$%. Проведём через неё прямые $%AA_1$%, ... , $%AA_n$%. Все они попарно различны. Их не более 45, то есть $%n\le 45$%, что и требовалось доказать.

Теперь оценим общее число точек. Проведём через точку $%A$% все прямые. Их будет 45, и все наши точки на них лежат. На каждой прямой, помимо самой $%A$%, лежит ещё не более 44 точек. Итого получается не более $%1+45\cdot44=1981$% точек, но у нас их $%1985$%. Пришли к противоречию.

Итак, все 1985 точек лежат на прямой $%a$% (это значит, что у всех наших множеств общий элемент один и тот же). Через каждую из точек, кроме $%a$%, проходит ещё 44 прямые. Значит, всего прямых имеется $%1+1985\cdot44=87341$%. Это и есть число элементов объединения.