2
1

Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причем объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств?

задан 20 Июн '14 22:20

изменен 21 Июн '14 10:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

По условию, любые два множества имеют в точности один общий элемент. В таких случаях бывает удобен геометрический язык. Назовём наши множества "точками", а их элементы -- "прямыми". Кавычки далее будем опускать. Тот факт, что элемент $%a$% принадлежит множеству $%A$%, будет трактоваться как прохождение прямой $%a$% через точку $%A$%. Оказывается, что через две различные точки проходит одна и только одна прямая, а через всякую точку у нас проходит ровно 45 прямых.

Докажем, что все наши точки лежат на одной прямой. После этого будет легко подсчитать число прямых. Предположим противное, и установим, что на прямой может лежать не более 45 точек. Возьмём произвольную прямую $%a$%, и пусть $%A_1$%, ... , $%A_n$% -- все лежащие на ней точки. По предположению, это не все точки, поэтому найдётся отличная от них точка $%A$%. Проведём через неё прямые $%AA_1$%, ... , $%AA_n$%. Все они попарно различны. Их не более 45, то есть $%n\le 45$%, что и требовалось доказать.

Теперь оценим общее число точек. Проведём через точку $%A$% все прямые. Их будет 45, и все наши точки на них лежат. На каждой прямой, помимо самой $%A$%, лежит ещё не более 44 точек. Итого получается не более $%1+45\cdot44=1981$% точек, но у нас их $%1985$%. Пришли к противоречию.

Итак, все 1985 точек лежат на прямой $%a$% (это значит, что у всех наших множеств общий элемент один и тот же). Через каждую из точек, кроме $%a$%, проходит ещё 44 прямые. Значит, всего прямых имеется $%1+1985\cdot44=87341$%. Это и есть число элементов объединения.

ссылка

отвечен 21 Июн '14 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×664
×273

задан
20 Июн '14 22:20

показан
2835 раз

обновлен
21 Июн '14 18:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru