В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ABC со сторонами AC=BC=5 и AB=6, боковые ребра AS,BS,CS пирамиды равна сответственно 7, 7 и 4. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости ABC и касается прямых AC и BC. Найдите высоту цилиндра.

задан 21 Июн '14 18:50

изменен 23 Июн '14 21:56

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Плоскость, проходящая через точки $%S$%, $%C$%, $%M$%, где $%M$% -- середина $%AB$%, будет плоскостью симметрии пирамиды. Всё основное действие будет происходить в ней, поэтому пространственного чертежа можно будет не делать, ограничившись рисунком сечения пирамиды плоскостью $%SCM$%.

Плоскость верхнего основания цилиндра параллельна плоскости основания, и её точки пересечения с боковыми рёбрами мы обозначим через $%A_1$%, $%B_1$%, $%C_1$%. Верхнее основание цилиндра будет кругом, вписанным в треугольник $%A_1B_1C_1$%, подобный треугольнику $%ABC$% с коэффициентом $%k < 1$%.

Впишем окружность в треугольник $%ABC$%. Легко найти все нужные нам элементы этого треугольника: высота $%CM=4$%, площадь $%S=12$%, полупериметр $%p=8$%, откуда радиус вписанной окружности равен $%r=\frac32$%. Обозначим центр этой окружности через $%I$%; тогда $%IM=r=\frac32$% и $%CI=\frac52$%, то есть точка $%I$% делит отрезок $%CM$% в отношении $%5:3$%. То же верно относительно окружности с центром $%I_1$%, вписанной в треугольник $%A_1B_1C_1$%. Она делит отрезок $%C_1M_1$% в том же отношении $%5:3$%, а её радиус равен $%r_1=\frac32k$%.

При ортогональной проекции этой окружности на основание пирамиды получается окружность того же радиуса, центр которой $%I'$% лежит на прямой $%CM$%. От точки $%C$% он должен быть удалён на расстояние $%\frac53r_1$%, так как отношение $%r_1$% к $%CI'$% равно синусу угла $%MCA$%, а он равен $%MA:CA=3:5$%. Таким образом, нужно подобрать значение $%k$%, для которого $%CI'=\frac53r_1=\frac52k$%.

Теперь имеет смысл сделать рисунок сечения, обозначая через $%H$% проекцию вершины $%S$% на прямую $%CM$%. При этом $%SH$% будет высотой пирамиды, длина которой легко вычисляется. Заметим, что $%CS=CM=4$%, и $%SM=\sqrt{7^2-3^2}=2\sqrt{10}$%. Угол $%SCM$% -- тупой, и проекция $%H$% точки $%S$% лежит на продолжении луча $%MC$% за точку $%C$%.

Длину высоты $%SH$% можно найти через площадь треугольника $%SCM$%. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $%C$%, равна $%\sqrt{6}$% по теореме Пифагора, и тогда $%SH=\frac{2\sqrt{10}\sqrt6}4=\sqrt{15}$%. Из этого следует, что $%CH=1$% ввиду теоремы Пифагора.

Проекции точек с нижним индексом $%1$% на прямую $%MC$% будем обозначать буквами со штрихом. Тогда $%CC'=(1-k)CH=1-k$% из соображений подобия треугольников. Далее, $%C_1M_1=k\cdot CM=4k$%, откуда $%C'I'=C_1I_1=\frac58C_1M_1=\frac52k$%. Тогда $%CI'=|CC'-C'I'|=|1-\frac72k|$%. Именно это расстояние, как было выяснено выше, должно быть равно $%\frac52k$%. Составляем уравнение $%|1-\frac72k|=\frac52k$%, имеющее два решения, но значение $%k=1$% нам не подходит. Следовательно, $%k=\frac16$%. Нетрудно проверить, что точка $%I'$% будет находиться ровно посередине между $%C'$% и $%C$%, а это значит, что нижнее основание цилиндра касается продолжений сторон $%AC$% и $%BC$% за точку $%C$%.

Высота цилиндра равна $%(1-k)SH=\frac56\sqrt{15}$%.

ссылка

отвечен 22 Июн '14 2:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,368
×409

задан
21 Июн '14 18:50

показан
950 раз

обновлен
22 Июн '14 2:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru