математический-анализ - Найти площадь

Запишем уравнение в полярных координатах: $%r^4=2r^3\cos^3\varphi$%, то есть $%r(\varphi)=2\cos^3\varphi$%. Эта величина неотрицательна, и угол меняется от $%-\frac{\pi}2$% до $%\frac{\pi}2$%. По формуле для площади фигуры в полярных координатах, $%S=\frac12\int\limits_{0}^{\pi/2}r(\varphi)^2d\varphi=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}r(\varphi)^2d\varphi=4\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^6\varphi\,d\varphi$%.

Ввиду того, что $%\cos^2\varphi=\frac12(1+\cos2\varphi)$%, подынтегральная функция равна $%\frac18(1+\cos2\varphi)^3=\frac18(1+3\cos2\varphi+3\cos^22\varphi+\cos^32\varphi)$%. Выражая квадрат косинуса через косинус удвоенного угла как $%\cos^22\varphi=\frac12(1+\cos4\varphi)$% и куб косинуса как $%\cos^32\varphi=\frac43\cos2\varphi-\frac13\cos6\varphi$%, мы придём к выражению вида $%\frac5{16}+a\cos2\varphi+b\cos4\varphi+c\cos6\varphi$%, где значения коэффициентов можно не уточнять, так как интегралы от косинусов в заданных пределах будут равны нулю (за счёт того, что первообразной будет синус, и он обращается в ноль на концах отрезка).

Исходя из этого, получится $%S=4\cdot\frac{\pi}2\cdot\frac5{16}=\frac58\pi$%.