Найти общий и повторный предел $$y=lim(x-y)/(\sqrt{x^2+y^2})$$ , $$x-> \infty, y-> \infty$$

задан 22 Июн '14 17:59

изменен 23 Июн '14 22:00

Deleted's gravatar image


126

@vancuxa, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(23 Июн '14 22:01) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
3

Перейдём к полярным координатам $$\begin{cases} x=\rho\cos{\varphi}, \\ y=\rho\sin{\varphi}. \end{cases}$$ Тогда $$\lim\limits_{\substack{x\to\infty\\ y\to\infty}}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}=\lim\limits_{\rho\to\infty}{\dfrac{\rho(\cos{\varphi}-\sin{\varphi)}}{\rho}}=\lim\limits_{\rho\to\infty}{(\cos{\varphi}-\sin{\varphi})},$$ откуда следует, что последний предел не существует, поэтому не сущестует двойной предел $$\lim\limits_{\substack{x\to\infty\\ y\to\infty}}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}.$$ Из условия задачи в том виде, как оно сформулировано, непонятно, к бесконечности какого знака стремятся переменные $%x$% и $%y.$% Если устремить каждую из переменных $%x$% и $%y$% к бесконечности определенного знака, например, $%{x\to+\infty},\;\;{y\to+\infty},$% то оба повторных предела $%\lim\limits_{x\to+\infty}\lim\limits_{y\to+\infty}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}} $% и $%\lim\limits_{y\to+\infty}\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}} $% будут существовать: $$\lim\limits_{x\to+\infty}\lim\limits_{y\to+\infty}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}} =\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\lim\limits_{y\to+\infty}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\lim\limits_{y\to+\infty}{\dfrac{\frac{x}{y}-1}{\sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2+1}}}\right)=-1; \\ \lim\limits_{y\to+\infty}\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}} =\lim\limits_{y\to+\infty}\left(\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\right)=\lim\limits_{y\to+\infty}\left(\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac{1-\frac{y}{x}}{\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^2+1}}}\right)=1.$$

ссылка

отвечен 22 Июн '14 23:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно гораздо проще: Положим $%y = kx$% где $%k$% некая константа.

Выражение примет вид: $%\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle x \to \infty \atop \scriptstyle y \to \infty} \frac{{x - y}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{x - kx}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}{x^2}} }} = \frac{{x(1 - k)}}{{x\sqrt {1 + {k^2}} }} = \frac{{1 - k}}{{\sqrt {1 + {k^2}} }}$%

Это означаем что предела не существует, так как он зависит от константы которая может принять любое значение.

ссылка

отвечен 24 Июн '14 16:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×576

задан
22 Июн '14 17:59

показан
466 раз

обновлен
24 Июн '14 16:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru