площадь - Уравнение наименьшей окружности, которая ограничивает фигуру

1) Рассмотрим два случая.

а) $%x\ge-2$%. Получается $%|2y+3x-2| < -3x$%, откуда $%x < 0$% и $%3x < 2y+3x-2 < -3x$%, то есть $%1 < y < 1-3x$%. В пределах полосы, заключённой между прямыми $%x=-2$% и $%x=0$%, изображаем фигуру, ограниченную сверху графиком функции $%y=1-3x$%, а снизу -- графиком $%y=1$%. Это треугольник.

б) $%x < -2$%. Здесь аналогично получается $%|2y+3x-2| < 12+3x$%, то есть $%x > -4$% и $%-12-3x < 2y+3x-2 < 12+3x$%, что после упрощений даёт $%-5-3x < y < 7$%. В полосе, заключённой между прямыми $%x=-4$% и $%x=-2$%, получается фигура, сверху ограниченная графиком $%y=7$%, а снизу -- графиком $%y=-3x-5$%. Это также будет треугольник, а вместе обе фигуры составят параллелограмм $%ABCD$%, где $%A(-4;7)$%, $%B(-2;7)$%, $%C(0;1)$%, $%D(-2;1)$%.

Круг наименьшего возможного радиуса, ограничивающий эту фигуру, должен быть построен на отрезке $%AC$% как на диаметре (углы при вершинах $%B$% и $%D$% тупые, и они попадут внутрь круга). Серединой отрезка $%AC$% будет точка $%O(-2;4)$%. Это центр круга. Квадрат его радиуса будет равен $%OC^2=2^2+3^2=13$%, поэтому уравнение окружности будет иметь вид $%(x+2)^2+(y-4)^2=13$%.

2) Для случаев $%y\ge0$% и $%y < 0$% получатся неравенства $%(x+3)^2+(y-3)^2\le18$% и $%(x+3)^2+(y+3)^2\le18$% соответственно. Это два круга, которые в объединении составляют требуемую фигуру (от первого круга берётся часть не ниже оси $%Ox$%, от второго -- часть ниже этой оси). Граница фигуры будет иметь вид "восьмёрки". Фигура при этом состоит из шести четвертей круга радиусом $%\sqrt{18}$%, а также квадрата со стороной такой же длины. Площадь круга равна $%18\pi$%, мы берём $%\frac32$% этой площади. Вместе с площадью квадрата получится $%27\pi+18$%.