Здравствуйте. Помогите решить, пожалуйста. Из отрезка [0,1] случайно и независимо выбирают две точки. Найти плотность распределения разности координат этих точек. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины кси. Для случайной величины "эта"=кси в квадрате найти распределение.

задан 23 Июн '14 19:34

изменен 23 Июн '14 22:07

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Случайная величина $%\xi=y-x$% принимает значения в пределах от $%-1$% до $%1$%. Найдём функцию распределения $%F_{\xi}(a)$% этой величины. Ясно, что $%F_{\xi}(a)=0$% при $%a\le-1$% и $%F_{\xi}(a)=1$% при $%a\ge1$%. Пусть $%a\in(-1;1)$%. Тогда $%F_{\xi}(a)=P\{y-x\le a\}=P\{y\le x+a\}$%. Эта вероятность равна площади той части единичного квадрата, которая находится ниже прямой $%y=x+a$%. Если $%a < 0$%, то это площадь треугольника со стороной $%1+a$%, то есть $%F_{\xi}(a)=\frac12(1+a)^2=\frac12+a+\frac12a^2$% на промежутке $%a\in(-1;0)$%. Соответственно, при $%a\ge0$% площадь интересующей нас фигуры равна разности площади всего квадрата и площади треугольника со стороной $%1-a$%. Отсюда $%F_{\xi}(a)=1-\frac12(1-a)^2=\frac12+a-\frac12a^2$% на промежутке $%a\in[0;1)$%.

Плотность находится дифференцированием: $%p_{\xi}(a)=1+a$% при $%a\in(-1;0)$% и $%p_{\xi}(a)=1-a$% при $%a\in(0;1)$%. Можно объединить две формулы в одну: $%p_{\xi}(a)=1-|a|$% при $%a\in(-1;1)$%. Вне этого интервала плотность равна нулю.

Для величины $%\eta=\xi^2$%, принимающей значения от $%0$% до $%1$%, при $%a\in(0;1)$% имеем $%F_{\eta}(a)=P\{\xi^2\le a\}=P\{-\sqrt{a}\le\xi\le\sqrt{a}\}=F(\sqrt{a})-F(-\sqrt{a})=2\sqrt{a}-a$%. Вне этого интервала значения функции равны 0 и 1, как и выше. Плотность на интервале задаётся формулой $%p_{\eta}(a)=\frac1{\sqrt{a}}-1$%, вне интервала она равна нулю.

Осталось найти матожидание и дисперсию для $%\xi$%. Плотность нам известна, поэтому $%M\xi=\int\limits_{-1}^1ap(a)\,da=0$%, так как интегрируется нечётная функция. Далее, $%M\xi^2=\int\limits_{-1}^1a^2p(a)\,da=2\int\limits_0^1a^2(1-a)\,da=2\int\limits_0^1(a^2-a^3)\,da=\frac16$%. Поэтому $%D\xi=M\xi^2-(M\xi)^2=\frac16$%.

ссылка

отвечен 23 Июн '14 21:12

@falcao Спасибо огромное. Только вопрос: что это за величина pξ(a) во втором абзаце. Это распределение? Плотность же находится дифференцированием функции распределения... Или не так?

(23 Июн '14 21:31) ekaterina1

@ekaterina1: в втором абзаце найдена именно плотность -- как производная функции распределения, которая имела вид $%\frac12+a\pm\frac12a^2$%. Производная равна $%1\pm a$%. Буквой $%p$% (с индексом или без) плотность чаще всего и обозначается.

(23 Июн '14 21:39) falcao

@falcao Ой. Глупый вопрос задала. Спасибо!

(23 Июн '14 21:47) ekaterina1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если имеете две одинаково распределённых независимых СВ, имеющих равномерное распределение на отрезке $%[0;1]$%, то математическое ожидание и дисперсию можно просто считать по свойствам... $$M(X-Y)=MX-MY=1/2-1/2=0,$$ $$D(X-Y)=DX+DY=1/12+1/12=1/6...$$

ссылка

отвечен 25 Июн '14 18:01

изменен 25 Июн '14 18:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,819

задан
23 Июн '14 19:34

показан
1009 раз

обновлен
25 Июн '14 18:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru