Пусть x,y,z - положительные числа, которые удовлетворяют условие: x^2+y^2+z^2+2xyz=1 Докажите что x+y+z<=3/2 и xy+yz+xz<=3/4

задан 23 Июн '14 21:27

10|600 символов нужно символов осталось
2

Задача несколько напомнила эту.

Среди чисел $%x-\frac12$%, $%y-\frac12$%, $%z-\frac12$% найдутся два, произведение которых неотрицательно (это верно для любой тройки чисел). Без ограничения общности, пусть $%(x-\frac12)(y-\frac12)\ge0$%, откуда после удвоения $%2xy-x-y+\frac12\ge0$%, то есть $%x+y-2xy\le\frac12$%.

Далее, $%1=x^2+y^2+z^2+2xyz\ge2xy+z^2+2xyz$%, откуда $%1-z^2\ge2xy(1+z)$%, и после сокращения на положительное число $%1+z$% получается $%1-z\ge2xy$%. Из этого следует, что $%x+y+z\le x+y+1-2xy\le\frac32$% ввиду неравенства, установленного выше.

Второе неравенство легко следует из предыдущего. Хорошо известно, что $%x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz$% (надо сложить три неравенства: $%(x-y)^2\ge0$% и симметричные ему). Следовательно, $%(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\ge3(xy+xz+yz)$%. Правая часть не превосходит $%\frac94$%, поэтому $%xy+xz+yz\le\frac34$%.

ссылка

отвечен 24 Июн '14 3:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×472

задан
23 Июн '14 21:27

показан
816 раз

обновлен
24 Июн '14 3:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru