2
1

Правильный тетраэдр АВСD вписан в единичную сферу с центром в точке О, N - точка на сфере. Найти среднее значение по всем N для произведения (OA, ON)(OB, ON)(OC, ON)(OD, ON)

задан 24 Июн '14 8:30

изменен 26 Июн '14 23:28

Прошу помощи - ибо ученик попросил решить задачу с олимпиад - а послезавтра мне уже к нему ехать...

(26 Июн '14 21:24) nagibin1995
2

@nagibin1995: я некоторое время думал над этой задачей, но пока что не располагаю полным решением. Попробую дальше подумать. На всякий случай хочу уточнить: здесь перемножаются скалярные произведения векторов?

(26 Июн '14 22:17) falcao

Но хот бы идеи, кроме решения в лоб интегрированием по поверхности, есть? А то интегрирование там невозможно большое....

(26 Июн '14 23:07) nagibin1995

Честно говоря, я не вижу, как это можно сделать без интегрирования. Скажем, для простого случая, когда на окружности всего две точки A,B, и усредняется произведение типа (OA, ON)(OB, ON), вычисляется несложно, но не видно способов получить этот ответ из каких-то общих соображений (типа симметрии и прочего).

При интегрировании там получаются какие-то вполне предсказуемые величины, но надо аккуратно всё посчитать. Пока не ясно, какой именно будет ответ, то есть что за характеристика тетраэдра получится.

(26 Июн '14 23:21) falcao

А, забыл сказать, блин - правильный тетраэдр!

(26 Июн '14 23:27) nagibin1995

В такой версии я над задачей пока не думал, но если правильный, то тогда могут сыграть роль какие-то соображения симметрии. А в общем виде -- там только счёт.

(27 Июн '14 0:23) falcao

Ну вот я и пытался понять - какие именно соображения симметрии здесь можно применить...

(27 Июн '14 0:52) nagibin1995

@nagibin1995: я проделал вычисления -- получился ответ 1/45. Не знаю, как можно его получить из общих соображений. Интегрирование там, по идее, несложное (все значения интегралов можно вычислить устно). Решение вскоре изложу.

(27 Июн '14 20:16) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим задачу в более общем виде. Пусть $%(a_i,b_i,c_i)$% -- координаты $%i$%-й вершины тетраэдра ($%i=1,2,3,4$%); $%N(x,y,z)$% -- произвольная точка единичной сферы. Тогда произведение четырёх скалярных произведений представляется следующей функцией: $%f(x,y,z)=(a_1x+b_1y+c_1z)(a_2x+b_2y+c_2z)(a_3x+b_3y+c_3z)(a_4x+b_4y+c_4z)$%, среднее значение которой на сфере требуется найти.

После раскрытия скобок получается линейная комбинация мономов. Для тех из них, в которые какая-либо из переменных входит в нечётной степени, среднее значение равно нулю. Поэтому учитывать следует только четвёртые степени переменных, а также произведения квадратов двух переменных. Пусть $%m_4$% -- среднее значение на сфере функции $%x^4$%, и $%m_{22}$% -- среднее значение функции $%x^2y^2$%. Замена одних переменных на другие, очевидно, не влияет на среднее значение. Из этого следует, что среднее значение функции $%f$% будет равно $%m_4(a_1a_2a_3a_4+b_1b_2b_3b_4+c_1c_2c_3c_4)+m_{22}(a_1a_2b_3b_4+\cdots)$%, где вторая из сумм имеет 18 слагаемых, аналогичным указанному).

Средние значения можно вычислить при помощи поверхностных интегралов, но ещё проще заметить следующее. Как известно, площадь поверхности шарового слоя зависит только от его высоты и не зависит от того, где именно он расположен. Поэтому равномерное распределение по поверхности сферы получится, если сначала выбрать значение $%z\in[-1;1]$% при равномерном распределении, а затем на окружности $%x^2+y^2=1-z^2$% выбрать точку $%(x,y)$% -- также при равномерном распределении. Поэтому значение $%m_4$% получится как среднее значение функции $%z^4$% на отрезке $%[-1;1]$%, который можно также заменить на $%[0;1]$%, откуда $%m_4=\int_0^1z^4\,dz=\frac15$%.

Для значения $%m_{22}$% мы таким же образом находим среднее значение функции $%x^2z^2$%. При фиксированном $%z$% на окружности $%x^2+y^2=1-z^2=r^2$% среднее значение функции $%x^2=r^2\cos^2\varphi$% равно $%r^2/2$%, поскольку $%\cos^2\varphi=\frac12(1+\cos2\varphi)$%, а среднее значение косинуса равно нулю. Поэтому мы усредняем функцию $%z^2(1-z^2)/2$% по отрезку $%[-1;1]$% или $%[0;1]$%, получая в последнем случае $%m_{22}=\frac12\int_0^1(z^2-z^4)dz=\frac1{15}$%.

Рассмотрим теперь точки $%A(\frac{\sqrt6}3;-\frac{\sqrt2}3;-\frac13)$%, $%B(-\frac{\sqrt6}3;-\frac{\sqrt2}3;-\frac13)$%, $%C(0;\frac{2\sqrt2}3;-\frac13)$%, $%D(0;0;1)$%, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, вписанного в единичную сферу. Для них легко вычислить коэффициенты при $%m_4$% и $%m_{22}$% в указанной выше формуле. Первый из них равен $%c_1c_2c_3c_4=-\frac1{27}$%, а второй равен $%(a_1a_2+b_1b_2)c_3c_4+(b_1c_2+c_1b_2)b_3c_4=\frac4{27}+\frac8{27}=\frac{4}{9}$%.

Окончательно имеем $%-\frac15\cdot\frac1{27}+\frac1{15}\cdot\frac49=\frac1{45}$%.

ссылка

отвечен 27 Июн '14 22:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×520
×31
×30

задан
24 Июн '14 8:30

показан
1097 раз

обновлен
27 Июн '14 22:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru