стереометрия - Тетраэдр, вписанный в единичную сферу

Рассмотрим задачу в более общем виде. Пусть $%(a_i,b_i,c_i)$% -- координаты $%i$%-й вершины тетраэдра ($%i=1,2,3,4$%); $%N(x,y,z)$% -- произвольная точка единичной сферы. Тогда произведение четырёх скалярных произведений представляется следующей функцией: $%f(x,y,z)=(a_1x+b_1y+c_1z)(a_2x+b_2y+c_2z)(a_3x+b_3y+c_3z)(a_4x+b_4y+c_4z)$%, среднее значение которой на сфере требуется найти.

После раскрытия скобок получается линейная комбинация мономов. Для тех из них, в которые какая-либо из переменных входит в нечётной степени, среднее значение равно нулю. Поэтому учитывать следует только четвёртые степени переменных, а также произведения квадратов двух переменных. Пусть $%m_4$% -- среднее значение на сфере функции $%x^4$%, и $%m_{22}$% -- среднее значение функции $%x^2y^2$%. Замена одних переменных на другие, очевидно, не влияет на среднее значение. Из этого следует, что среднее значение функции $%f$% будет равно $%m_4(a_1a_2a_3a_4+b_1b_2b_3b_4+c_1c_2c_3c_4)+m_{22}(a_1a_2b_3b_4+\cdots)$%, где вторая из сумм имеет 18 слагаемых, аналогичным указанному).

Средние значения можно вычислить при помощи поверхностных интегралов, но ещё проще заметить следующее. Как известно, площадь поверхности шарового слоя зависит только от его высоты и не зависит от того, где именно он расположен. Поэтому равномерное распределение по поверхности сферы получится, если сначала выбрать значение $%z\in[-1;1]$% при равномерном распределении, а затем на окружности $%x^2+y^2=1-z^2$% выбрать точку $%(x,y)$% -- также при равномерном распределении. Поэтому значение $%m_4$% получится как среднее значение функции $%z^4$% на отрезке $%[-1;1]$%, который можно также заменить на $%[0;1]$%, откуда $%m_4=\int_0^1z^4\,dz=\frac15$%.

Для значения $%m_{22}$% мы таким же образом находим среднее значение функции $%x^2z^2$%. При фиксированном $%z$% на окружности $%x^2+y^2=1-z^2=r^2$% среднее значение функции $%x^2=r^2\cos^2\varphi$% равно $%r^2/2$%, поскольку $%\cos^2\varphi=\frac12(1+\cos2\varphi)$%, а среднее значение косинуса равно нулю. Поэтому мы усредняем функцию $%z^2(1-z^2)/2$% по отрезку $%[-1;1]$% или $%[0;1]$%, получая в последнем случае $%m_{22}=\frac12\int_0^1(z^2-z^4)dz=\frac1{15}$%.

Рассмотрим теперь точки $%A(\frac{\sqrt6}3;-\frac{\sqrt2}3;-\frac13)$%, $%B(-\frac{\sqrt6}3;-\frac{\sqrt2}3;-\frac13)$%, $%C(0;\frac{2\sqrt2}3;-\frac13)$%, $%D(0;0;1)$%, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, вписанного в единичную сферу. Для них легко вычислить коэффициенты при $%m_4$% и $%m_{22}$% в указанной выше формуле. Первый из них равен $%c_1c_2c_3c_4=-\frac1{27}$%, а второй равен $%(a_1a_2+b_1b_2)c_3c_4+(b_1c_2+c_1b_2)b_3c_4=\frac4{27}+\frac8{27}=\frac{4}{9}$%.

Окончательно имеем $%-\frac15\cdot\frac1{27}+\frac1{15}\cdot\frac49=\frac1{45}$%.