|
Оценить количество нулей нетривиального решения уравнения (x^4+100ln(x)+200)y+20(y'x^2+5y'')=0 на промежутке [1, 10] я так понимаю, тут нужно решить задачу Коши y(x0)=0 при x, принадлежащем выше указанному промежутку, но как решить само уравнение? задан 25 Июн '14 1:34 
Jeg92 |
|
Здесь, видимо, надо как-то применять теорему Штурма, которая позволяет оценивать количество нулей нетривиальных дифференциальных уравнений вида $%z''+a(x)z=0$%. К такому уравнению всё сводится после замены вида $%y=\exp(-\frac{x^3}{30})\cdot v$%. Количество нулей за счёт умножения на экспоненту не меняется, а уравнение принимает значительно более простой вид: $%v''+v(\ln x+2-\frac{x}5)=0$%. Далее надо как-то варьировать функцию в скобках, меняя её на такую, для которой уравнение можно решить явно. Теорема Штурма устанавливает связь между нулями решений одного и другого уравнения. На данный момент, это всё, что я могу сказать по поводу задачи. отвечен 25 Июн '14 2:27 
falcao @falcao а как именно варьировать? если я не ошибаюсь, метод вариации произвольной постоянной(если правильно понял вас) предполагает, что уже найдено общее решение?
(25 Июн '14 16:29)
Jeg92
1
@Jeg92: слово "варьировать" я употребил в смысле "менять". Это не имеет отношения к методу вариации, и точного аналитического решения искать не надо. Речь идёт о том, что в теореме Штурма речь идёт о двух уравнениях вида $%v''+vq_1(x)=0$% и $%v''+vq_2(x)=0$%, где $%q_1(x)\le q_2(x)$%. Скажем, функцию с логарифмом можно оценить снизу числом $%9/5$%, а для такого случая общее решение известно. Для него мы количество нулей знаем, и тогда теорема помогает установить, не решая уравнение явно, что и для нашего случая их достаточно много.
(25 Июн '14 18:32)
falcao
|