Оценить количество нулей нетривиального решения уравнения (x^4+100ln(x)+200)y+20(y'x^2+5y'')=0 на промежутке [1, 10]


я так понимаю, тут нужно решить задачу Коши y(x0)=0 при x, принадлежащем выше указанному промежутку, но как решить само уравнение?

задан 25 Июн '14 1:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь, видимо, надо как-то применять теорему Штурма, которая позволяет оценивать количество нулей нетривиальных дифференциальных уравнений вида $%z''+a(x)z=0$%.

К такому уравнению всё сводится после замены вида $%y=\exp(-\frac{x^3}{30})\cdot v$%. Количество нулей за счёт умножения на экспоненту не меняется, а уравнение принимает значительно более простой вид: $%v''+v(\ln x+2-\frac{x}5)=0$%.

Далее надо как-то варьировать функцию в скобках, меняя её на такую, для которой уравнение можно решить явно. Теорема Штурма устанавливает связь между нулями решений одного и другого уравнения.

На данный момент, это всё, что я могу сказать по поводу задачи.

ссылка

отвечен 25 Июн '14 2:27

@falcao а как именно варьировать?

если я не ошибаюсь, метод вариации произвольной постоянной(если правильно понял вас) предполагает, что уже найдено общее решение?

(25 Июн '14 16:29) Jeg92
1

@Jeg92: слово "варьировать" я употребил в смысле "менять". Это не имеет отношения к методу вариации, и точного аналитического решения искать не надо. Речь идёт о том, что в теореме Штурма речь идёт о двух уравнениях вида $%v''+vq_1(x)=0$% и $%v''+vq_2(x)=0$%, где $%q_1(x)\le q_2(x)$%. Скажем, функцию с логарифмом можно оценить снизу числом $%9/5$%, а для такого случая общее решение известно. Для него мы количество нулей знаем, и тогда теорема помогает установить, не решая уравнение явно, что и для нашего случая их достаточно много.

(25 Июн '14 18:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×803
×20

задан
25 Июн '14 1:34

показан
540 раз

обновлен
25 Июн '14 18:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru