|
Известно, что не существует неизвестных совершенных кодов над конечными полями (т. е. над алфавитом, мощность, которого равна степени простого числа). Отсюда, конечно, не следует неразрешимость в натуральных числах уравнения, соответствующего верхней границе Хемминга. Меня интересует это уравнение для троичного алфавита. С его решением связано построение особых конструкций в евклидовом пространстве. Отсюда у меня следующий вопрос (по-видимому, к @falcao). Что известно (есть ли результаты или что можно утверждать) относительно решения уравнения: $$ 1+ C_n^12+ C_n^22^2+...+ C_n^t2^t=3^m $$ в натуральных числах n, m, t. Дополнение 1. При t=2 рассматриваемое уравнение не имеет решений, кроме известных (1,1), (2,2), ((11,5). Этот факт доказан @falcao в теме «Существуют ли решения уравнения в натуральных числах?». задан 30 Июн '14 18:05 
Urt
показано 5 из 11
показать еще 6
|
|
Для $%t\in\{2,3,4\}$% задача сводится к отысканию целых точек на (гипер)эллиптических кривых, что вполне посильно современным вычислительным методам. Для $%t>4$% вопрос вероятно открыт. См. также обсуждение аналогичного уравнения для характеристики 2 на МО: https://mathoverflow.net/q/412940 отвечен 17 Май '22 0:39 
maxal |
Мне удалось найти только ссылки на случай $%t=2$%, то есть на уравнение $%2n^2+1=3^m$%. Для этого случая решения описал ещё Нагель в 1923 году. Правда, ни текста статьи, ни изложений доказательства я в Сети не нашёл. Думаю, эти результаты Вам известны. Правильно ли я понимаю, что вопрос касается прежде всего случаев $%t\ge3$%?
@falcao, спасибо за внимание. Результаты Нагеля по этой задаче мне неизвестны, более того не смог их найти и после Вашей подсказки. При t=2 я просматривал доказательство несуществования решений (кроме (1,1),(2,2),(11,5)), но предполагал, что вопрос уже исследован и поэтому к окончательному результату не пришел. Так что для t=2 этот вопрос для меня также открыт. Полагал, что в связи с интересом к совершенным кодам вопрос в более общем случае должен быть изучен где-то в 50-70-х годах.
Простое доказательство А. Титвайнена несуществования совершенных кодов над полями Галуа опирается на его
Утверждение. Если существует совершенный код А(n,t,q), то $% (n-1) (n-2)...(n—t)/q^t $% — целое число.
В нашем случае q=3. Есть подозрение, что это необходимое условие разрешимости исходного уравнения. (?) Работу 1974 г. найти не удалось.
@Urt: я нашёл ссылку вот на эту статью, но там доступ только по подписке. Надо бы посмотреть эти результаты, потому что отсутствие совершенных кодов вполне могло доказываться через неразрешимость уравнения.
Условие делимости (n-1)(n-2) на 9 выполнено для многих n, то есть оно выглядит достаточно слабым ограничением.
Ещё я смотрел одну из работ E.L.Cohen, а сейчас только что нашёл ссылку на обзор ван Линта в открытом доступе. У Вас он есть?
@falcao, Статья, на которую Вы ссылаетесь, содержит исходное док-во Титвайнена (1973). Оно опубликовано одновременно с аналогичным рез-том Зиновьева-Леонтьева (ссылка есть в [1]). Затем Титвайнен опубликовал простое док-во, основанное на его Утверждении (конечно, в сочетании с другими условиями). Судя по док-ву Бассалыго, Зиновьева и др. для алфавитов $% 2^a3^b $% ([1] - mathnet-1975), можно предположить, что всюду док-ва основываются на неразрешимости уравнения Хемминга. Обзор ван Линта упустил из виду. Об упомянутых работах Титвайнена и Зиновьева-Леонтьева знаю лишь из библиографии [1].
Поправка к предыдущему моему комментарию. Все упомянутые выше док-ва опираются на результат Ллойда, который использует свойства совершенного кода и поэтому эти док-ва не указывают на неразрешимость ур-я Хемминга. Сейчас я вспомнил о рассмотренном здесь вопросе "Две задачи по совершенным кодам", в котором срдержится контрпример к моим предположениям.
Да, я сейчас посмотрел в обзоре ван Линта -- там на стр. 211 говорится о том, что для уравнения есть только некоторые частные результаты, а в целом вопрос открыт.
Я сейчас пытаюсь "вручную" доказать, что уравнение $%2n^2+1=3^m$% не имеет решений в натуральных числах помимо известных. Это интересно само по себе, хотя результат и известен. Я пытаюсь применить арифметику чисел кольца $%{\mathbb Z}[\sqrt{-2}]$%.
@falcao, Здесь я временно выложил статью of Tietavainen, на которую Вы обратили внимание в комментарии (1914 г.).
@Urt: Эта статья свободно доступна на сайте издателя: https://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/0124010
@maxal, а у меня, почему-то, издатель просит $36,75. На всякий случай пока ссылку оставляю.
Хмм. Странно, но может от страны зависит.