|
Помогите, пожалуйста, решить типовой расчет. {0,5,10,15,20,25,30,35}; x+y+10(mod 40)
задан 30 Июн '14 21:08 
Андрей Алексеев |
|
1) Все свойства абелевой группы здесь можно проверить непосредственно, но проще поступить так. Пусть $%G=\{0;5;\ldots;35\}$% -- данная система с операцией $%\circ$%, где $%x\circ y=x+y+10\pmod{40}$%. Рассмотрим отображение $%\phi\colon G\to G$%, полагая $%\phi(x)=x+10\pmod{40}$% для каждого $%x\in G$%. Тогда $%\phi(x\circ y)=(x\circ y)+10=(x+y+10)+10=(x+10)+(y+10)=\phi(x)+\phi(y)$%, где сложение рассматривается по модулю $%40$%. Легко видеть, что $%\phi$% -- биекция, и отсюда следует, что алгебра $%\langle G,\circ\rangle$% изоморфна алгебре $%\langle G,+\rangle$%. Последняя является абелевой, и даже циклической группой порядка 8. Если все элементы разделить на 5, то получится группа вычетов по модулю 8, состоящая из элементов 0, 1, ... , 7. Операцией является сложение по модулю 8. Далее мы будем говорить об этой группе, так как наша алгебра её изоморфна. В предыдущих обозначениях это были элементы 30, 35, ... , 25 соответственно. 2) Подгрупп у циклической подгруппы порядка $%n$% имеется столько же, сколько натуральных делителей имеет её порядок. В данном случае получаются 4 подгруппы. В новых обозначениях это будут $%H_1=\{0\}$%, $%H_2=\{0;4\}$%, $%H_4=\{0;2;4;6\}$% и $%H_8=\{0;1;...;7\}$%. 3) Это делается тривиально, поэтому выписывать смежные классы я не буду. Для примера: $%1+H_4=\{1;3;5;7\}$% -- смежный класс элемента 1. 4) Порядки элементов таковы: 0 имеет порядок 1, элемент 4 имеет порядок 2, элементы 2 и 6 имеют порядок 4, элементы 1, 3, 5, 7 имеют порядок 8. 5) Решётка подгрупп будет цепью. Она дистрибутивна и поэтому модулярна. Дополнение подгруппы не будет подгруппой, поэтому как решётка подмножеств она не комплементарна. 6) Термин "предполный класс", как мне казалось, относится к функциям $%k$%-значной логики. Для решётки подгрупп такого рода словоупотребление мне ранее не попадалось. Но, если подходить по аналогии, то "предполный" класс здесь один: это $%H_4$%, максимальная собственная подгруппа. 7) Базисами являются одноэлементные множества, состоящие из образующего подгруппы. Каждый из элементов 1, 3, 5, 7 образует базис (минимальное порождающее множество) циклической группы $%H_8$%. Для подклассов (подгрупп) базисными будут их порождающие элементы (это 2 и 6 для $%H_4$% и $%4$% для $%H_2$%; базис $%H_1$% пуст). отвечен 1 Июл '14 2:41 
falcao |
Я здесь не вижу алгебры.
@cartesius: здесь бинарная операция задана условием $%(x,y)\mapsto x+y+10\pmod{40}$%.
@falcao, мне это понятно, но неужели трудно написать условие как следует? По сути тут задан набор символов и куча вопросов. Ответ в таком же виде выдавать? Алгебра рассматривается над кольцом - каким? и т.д. и т.п. Я, конечно, в состоянии додумать, но хотелось бы, чтобы человек хотя бы немного подумал сам.
@cartesius, нам в таком виде дали. Честно, я узнал об этом предмете только вчера, и уже завтра мне надо сдавать этот типовой, поэтому не знаю как лучше было предоставить условия. Я понимаю, что задача не сложная, и обращаться к Вам за её решением стыдно, но я раньше и не знал что мне нужно будет изучать этот предмет.
@Андрей Алексеев, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.