Помогите, пожалуйста, решить типовой расчет.

{0,5,10,15,20,25,30,35}; x+y+10(mod 40)

  1. Проверить, что данная алгебра является абелевой группой.
  2. Найдите все подгруппы, постройте решетку подгрупп.
  3. Найдите смежные классы каждого элемента группы по каждой подгруппе.
  4. Найдите порядок элемента.
  5. Выясните, является ли решетка подгрупп модулярной, дистрибутивной, комплементарной. Если решетка комплементарна, то найти дополнение каждого элемента, иначе указать все элементы не имеющие дополнений.
  6. Найдите все предполные классы и сформулируйте критерий полноты.
  7. Укажите все базисы.

задан 30 Июн '14 21:08

изменен 1 Июл '14 21:51

Deleted's gravatar image


126

Я здесь не вижу алгебры.

(30 Июн '14 22:14) cartesius

@cartesius: здесь бинарная операция задана условием $%(x,y)\mapsto x+y+10\pmod{40}$%.

(30 Июн '14 22:18) falcao

@falcao, мне это понятно, но неужели трудно написать условие как следует? По сути тут задан набор символов и куча вопросов. Ответ в таком же виде выдавать? Алгебра рассматривается над кольцом - каким? и т.д. и т.п. Я, конечно, в состоянии додумать, но хотелось бы, чтобы человек хотя бы немного подумал сам.

(30 Июн '14 22:21) cartesius

@cartesius, нам в таком виде дали. Честно, я узнал об этом предмете только вчера, и уже завтра мне надо сдавать этот типовой, поэтому не знаю как лучше было предоставить условия. Я понимаю, что задача не сложная, и обращаться к Вам за её решением стыдно, но я раньше и не знал что мне нужно будет изучать этот предмет.

(30 Июн '14 22:33) Андрей Алексеев

@Андрей Алексеев, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(2 Июл '14 22:27) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
3

1) Все свойства абелевой группы здесь можно проверить непосредственно, но проще поступить так. Пусть $%G=\{0;5;\ldots;35\}$% -- данная система с операцией $%\circ$%, где $%x\circ y=x+y+10\pmod{40}$%. Рассмотрим отображение $%\phi\colon G\to G$%, полагая $%\phi(x)=x+10\pmod{40}$% для каждого $%x\in G$%. Тогда $%\phi(x\circ y)=(x\circ y)+10=(x+y+10)+10=(x+10)+(y+10)=\phi(x)+\phi(y)$%, где сложение рассматривается по модулю $%40$%. Легко видеть, что $%\phi$% -- биекция, и отсюда следует, что алгебра $%\langle G,\circ\rangle$% изоморфна алгебре $%\langle G,+\rangle$%. Последняя является абелевой, и даже циклической группой порядка 8. Если все элементы разделить на 5, то получится группа вычетов по модулю 8, состоящая из элементов 0, 1, ... , 7. Операцией является сложение по модулю 8. Далее мы будем говорить об этой группе, так как наша алгебра её изоморфна. В предыдущих обозначениях это были элементы 30, 35, ... , 25 соответственно.

2) Подгрупп у циклической подгруппы порядка $%n$% имеется столько же, сколько натуральных делителей имеет её порядок. В данном случае получаются 4 подгруппы. В новых обозначениях это будут $%H_1=\{0\}$%, $%H_2=\{0;4\}$%, $%H_4=\{0;2;4;6\}$% и $%H_8=\{0;1;...;7\}$%.

3) Это делается тривиально, поэтому выписывать смежные классы я не буду. Для примера: $%1+H_4=\{1;3;5;7\}$% -- смежный класс элемента 1.

4) Порядки элементов таковы: 0 имеет порядок 1, элемент 4 имеет порядок 2, элементы 2 и 6 имеют порядок 4, элементы 1, 3, 5, 7 имеют порядок 8.

5) Решётка подгрупп будет цепью. Она дистрибутивна и поэтому модулярна. Дополнение подгруппы не будет подгруппой, поэтому как решётка подмножеств она не комплементарна.

6) Термин "предполный класс", как мне казалось, относится к функциям $%k$%-значной логики. Для решётки подгрупп такого рода словоупотребление мне ранее не попадалось. Но, если подходить по аналогии, то "предполный" класс здесь один: это $%H_4$%, максимальная собственная подгруппа.

7) Базисами являются одноэлементные множества, состоящие из образующего подгруппы. Каждый из элементов 1, 3, 5, 7 образует базис (минимальное порождающее множество) циклической группы $%H_8$%. Для подклассов (подгрупп) базисными будут их порождающие элементы (это 2 и 6 для $%H_4$% и $%4$% для $%H_2$%; базис $%H_1$% пуст).

ссылка

отвечен 1 Июл '14 2:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,139

задан
30 Июн '14 21:08

показан
1404 раза

обновлен
2 Июл '14 22:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru