Нужно найти центр масс прямого кругового конуса с высотой H и радиусом r (или просто выразить через интеграл). Понятно, что он лежит на центральной оси конуса. Нужно найти положение по вертикали. Что можно использовать: $% \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x$% - площадь под графиком или сумма бесконечного числа бесконечно малых величин (понятия производной нет и оно не используется). Также известна формула $%\vec{r_{cm}}=\frac{\sum_{}^{} m_i \vec{r_{i}} }{\sum m_i}$%, где за массу принята площадь.

P.S.: другой пункт задачи - найти центр масс боковой поверхности конуса.

задан 2 Июл '14 21:38

изменен 2 Июл '14 21:54

10|600 символов нужно символов осталось
2

Координаты центра масс пространственного тела можно вычислять по стандартным формулам при помощи трёхмерных интегралов. Но здесь, как я понимаю, нужно решить при помощи ограничения на используемые средства. Если одномерные интегралы от функций простого вида разрешены, то можно поступить так.

Сконцентрируем всю массу на оси конуса. Тогда она будет пропорциональна площади сечения, то есть квадрату координаты, где начало координат помещено в вершине конуса. Получается задача нахождения массы неоднородного стрежня длиной $%H$%, у которого плотность задаётся формулой $%\rho(z)=kz^2$%. Тогда координата центра масс будет равна $$\frac{\int\limits_0^Hz\rho(z)\,dz}{\int\limits_0^H\rho(z)\,dz},$$ что можно считать предельным случаем указанной в условии формулы (суммы заменяются интегралами).

Ясно, что в данном примере получается $%\frac34H$% (от $%r$% ответ не зависит). Для боковой поверхности -- то же самое, только плотность там пропорциональна координате (длине окружности), и для случая $%\rho(z)=kz$% по той же формуле получается $%\frac23H$%.

ссылка

отвечен 2 Июл '14 22:08

Просто и понятно! А чтобы это стало принципом жизни, надо любить не только математику, но и - людей!

(2 Июл '14 23:57) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3

задан
2 Июл '14 21:38

показан
3326 раз

обновлен
2 Июл '14 23:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru