С телами вращения очень плохо, не знаю, с какой стороны подобраться:

Два конуса имеют общую вершину, и единственную общую образующую, которая составляет с их осями углы в 30гр и 45гр. Двугранный угол расположен так, что каждая его грань касается каждого из конусов по разным образующим. Найти величину двугранного угла.

задан 3 Июл '14 1:13

изменен 3 Июл '14 21:41

Deleted's gravatar image


126

А каков вопрос задачи? Что требуется найти?

(3 Июл '14 1:17) falcao

Ой. Нужно найти величину двугранного угла.

(3 Июл '14 1:18) Doctrina
3

@Doctrina, в ютубе есть картинка, а здесь решение http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=3&p=100920

(3 Июл '14 2:13) epimkin

В конце первой страницы

(3 Июл '14 2:14) epimkin

@epimkin, спасибо, разобралась.

(3 Июл '14 12:28) Doctrina

@Doctrina: если хотите, я могу изложить другое решение этой задачи, где собственно геометрическая часть используется по минимуму, а от чертежа нужно всего несколько простых линий. Там всё сводится к чисто тригонометрическому вычислению.

(4 Июл '14 2:16) falcao

@falcao, была бы очень признательна!

(4 Июл '14 2:27) Doctrina
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим плоскость, через которую проходят оси обоих конусов. Ясно, что угол между осями составляет 75 градусов, так как конусы касаются друг друга по образующей.

Рассмотрим ребро двугранного угла. Это какая-то прямая $%\ell$%, проходящая через общую вершину обоих конусов. Оси лежат в одной полуплоскости. Пусть одна из осей образует с $%\ell$% острый угол $%\varphi$%, а вторая -- угол $%105^{\circ}-\varphi$%. Это легко представить себе на рисунке: снизу идёт прямая $%\ell$%, а сверху проведены два луча из точки $%S\in\ell$%, делящие развёрнутый угол на три части величиной $%\varphi$%, $%75^{\circ}$% и $%105^{\circ}-\varphi$% при движении по часовой стрелке.

Выберем на осях конусов точки $%A$% и $%B$% соответственно. Это можно сделать как угодно. Пусть у нас будет $%SA=SB=1$%. Спроектируем точки $%A$% и $%B$% на прямую $%\ell$%, обозначая основания проекций через $%A'$%, $%B'$% соответственно.

Далее пусть $%\alpha$% -- одна из граней двугранного угла. Можно считать, что это полуплоскость, образующая с предыдущей из полуплоскостей угол $%\psi$%. Это половина величины искомого двугранного угла. Проекции точек $%A$% и $%B$% на эту плоскость обозначим соответственно через $%A''$%, $%B''$%.

Легко понять, что треугольник $%AA'A''$% прямоугольный, где угол при вершине $%A''$% прямой. При этом $%SA''$% есть образующая первого конуса, касающаяся плоскости $%\alpha$% двугранного угла. Считая, что угол между осью этого конуса и образующей равен $%30^{\circ}$%, то есть это угол между лучами $%SA$% и $%SA''$%, мы заключаем, что расстояние $%AA''$% равно $%SA\cdot\sin30^{\circ}=\frac12$%. С другой стороны, это же расстояние равно $%AA'\cdot\sin\psi=SA\cdot\sin\varphi\sin\psi=\sin\varphi\sin\psi$%.

Мы получили уравнение $%\sin\varphi\sin\psi=\frac12$%. Если то же самое проделать для второго конуса, которому соответствует угол $%45^{\circ}$%, то мы придём к уравнению $%\sin(105^{\circ}-\varphi)\sin\psi=\frac{\sqrt2}2$%.

Как следствие, мы имеем уравнение $%\sqrt2\sin\varphi=\sin(105^{\circ}-\varphi)$%. Решив его и найдя угол $%\varphi$%, мы далее сможем из предыдущих уравнений выразить $%\sin\psi$%. Далее идут вычисления.

Итак, $%\sqrt2\sin\varphi=\sin(105^{\circ}-\varphi)=\cos(\varphi-15^{\circ})=\cos\varphi\cos15^{\circ}+\sin\varphi\sin15^{\circ}$%, то есть $%(\sqrt2-\sin15^{\circ})\sin\varphi=\cos\varphi\cos15^{\circ}$%. Возводя в квадрат и применяя основное тригонометрическое тождество, получаем $%(2+\sin^215^{\circ}-2\sqrt2\sin15^{\circ})\sin^2\varphi=\cos^215^{\circ}(1-\sin^2\varphi)$%. Применяя формулы половинного угла, после упрощений имеем $%(3-2\sqrt2\sin15^{\circ})\sin^2\varphi=\frac{1+\cos30^{\circ}}2=\frac{2+\sqrt3}4$%. Далее, $%\sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}2=\frac{\sqrt{4-2\sqrt3}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$%, и после подстановки в предыдущее уравнение оказывается, что $%(4-\sqrt3)\sin^2\varphi=\frac{2+\sqrt3}4$%.

Тем самым, $%\sin^2\psi=\frac1{4\sin^2\varphi}=\frac{4-\sqrt3}{2+\sqrt3}=(4-\sqrt3)(2-\sqrt3)=11-6\sqrt3$%. Таким образом, ответ задачи может быть записан как $%2\arcsin\sqrt{11-6\sqrt3}$%. Это примерно 102 с половиной градуса.

Осталось заметить, что ответ отличается только формой записи от того, что было в решении по ссылке. Действительно, $%\cos^2\psi=1-\sin^2\psi=6\sqrt3-10=(\sqrt3-1)^3$%. Последнее равенство легко проверяется.

ссылка

отвечен 4 Июл '14 3:17

изменен 4 Июл '14 19:38

@falcao, не могу понять, почему A'A''=SA * sin fi, у меня получается AA'=SA * sin fi.

(4 Июл '14 12:13) Doctrina
1

@Doctrina: да, конечно, там должно быть AA'. Это опечатка. Я сейчас исправлю. Кстати, поскольку точки A, B выбираются произвольно, то можно было взять $%SA=\sqrt2$%, $%SB=1$%. Тогда даже тригонометрическое уравнение решать не надо: угол $%\varphi$% вычисляется из треугольника $%SAB$% с применением теоремы косинусов и теоремы синусов.

(4 Июл '14 19:37) falcao

@falcao, я просто не вижу равенства здесь AA''=AA' * sin psi. Это ведь из AA'A'', там разве есть угол psi?

(4 Июл '14 23:27) Doctrina

Угол $%\psi$% -- это угол между (полу)плоскостями. Прямые $%AA'$% и $%AA''$% перпендикулярны $%\ell$%. Поэтому величина угла $%AA'A''$% равна $%\psi$% (перпендикулярное сечение).

(4 Июл '14 23:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×411

задан
3 Июл '14 1:13

показан
906 раз

обновлен
4 Июл '14 23:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru