стереометрия - Найти величину двугранного угла

Рассмотрим плоскость, через которую проходят оси обоих конусов. Ясно, что угол между осями составляет 75 градусов, так как конусы касаются друг друга по образующей.

Рассмотрим ребро двугранного угла. Это какая-то прямая $%\ell$%, проходящая через общую вершину обоих конусов. Оси лежат в одной полуплоскости. Пусть одна из осей образует с $%\ell$% острый угол $%\varphi$%, а вторая -- угол $%105^{\circ}-\varphi$%. Это легко представить себе на рисунке: снизу идёт прямая $%\ell$%, а сверху проведены два луча из точки $%S\in\ell$%, делящие развёрнутый угол на три части величиной $%\varphi$%, $%75^{\circ}$% и $%105^{\circ}-\varphi$% при движении по часовой стрелке.

Выберем на осях конусов точки $%A$% и $%B$% соответственно. Это можно сделать как угодно. Пусть у нас будет $%SA=SB=1$%. Спроектируем точки $%A$% и $%B$% на прямую $%\ell$%, обозначая основания проекций через $%A'$%, $%B'$% соответственно.

Далее пусть $%\alpha$% -- одна из граней двугранного угла. Можно считать, что это полуплоскость, образующая с предыдущей из полуплоскостей угол $%\psi$%. Это половина величины искомого двугранного угла. Проекции точек $%A$% и $%B$% на эту плоскость обозначим соответственно через $%A''$%, $%B''$%.

Легко понять, что треугольник $%AA'A''$% прямоугольный, где угол при вершине $%A''$% прямой. При этом $%SA''$% есть образующая первого конуса, касающаяся плоскости $%\alpha$% двугранного угла. Считая, что угол между осью этого конуса и образующей равен $%30^{\circ}$%, то есть это угол между лучами $%SA$% и $%SA''$%, мы заключаем, что расстояние $%AA''$% равно $%SA\cdot\sin30^{\circ}=\frac12$%. С другой стороны, это же расстояние равно $%AA'\cdot\sin\psi=SA\cdot\sin\varphi\sin\psi=\sin\varphi\sin\psi$%.

Мы получили уравнение $%\sin\varphi\sin\psi=\frac12$%. Если то же самое проделать для второго конуса, которому соответствует угол $%45^{\circ}$%, то мы придём к уравнению $%\sin(105^{\circ}-\varphi)\sin\psi=\frac{\sqrt2}2$%.

Как следствие, мы имеем уравнение $%\sqrt2\sin\varphi=\sin(105^{\circ}-\varphi)$%. Решив его и найдя угол $%\varphi$%, мы далее сможем из предыдущих уравнений выразить $%\sin\psi$%. Далее идут вычисления.

Итак, $%\sqrt2\sin\varphi=\sin(105^{\circ}-\varphi)=\cos(\varphi-15^{\circ})=\cos\varphi\cos15^{\circ}+\sin\varphi\sin15^{\circ}$%, то есть $%(\sqrt2-\sin15^{\circ})\sin\varphi=\cos\varphi\cos15^{\circ}$%. Возводя в квадрат и применяя основное тригонометрическое тождество, получаем $%(2+\sin^215^{\circ}-2\sqrt2\sin15^{\circ})\sin^2\varphi=\cos^215^{\circ}(1-\sin^2\varphi)$%. Применяя формулы половинного угла, после упрощений имеем $%(3-2\sqrt2\sin15^{\circ})\sin^2\varphi=\frac{1+\cos30^{\circ}}2=\frac{2+\sqrt3}4$%. Далее, $%\sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}2=\frac{\sqrt{4-2\sqrt3}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$%, и после подстановки в предыдущее уравнение оказывается, что $%(4-\sqrt3)\sin^2\varphi=\frac{2+\sqrt3}4$%.

Тем самым, $%\sin^2\psi=\frac1{4\sin^2\varphi}=\frac{4-\sqrt3}{2+\sqrt3}=(4-\sqrt3)(2-\sqrt3)=11-6\sqrt3$%. Таким образом, ответ задачи может быть записан как $%2\arcsin\sqrt{11-6\sqrt3}$%. Это примерно 102 с половиной градуса.

Осталось заметить, что ответ отличается только формой записи от того, что было в решении по ссылке. Действительно, $%\cos^2\psi=1-\sin^2\psi=6\sqrt3-10=(\sqrt3-1)^3$%. Последнее равенство легко проверяется.