|
Через центр сферы радиуса R проходит плоскость. Выше плоскости и внутри сферы расположены четыре одинаковые шара, каждый из которых касается плоскости и двух соседних шаров внешним образом. Далее внутри сферы лежит пятый шар, который касается первых четырех шаров внешним образом, а также касается сферы. Найти радиус пятого шара. Я не понимаю, почему положение шаров является фиксированным? Мне кажется, при любом положении четырех первых найдется пятый шар, удовлетворяющий условию, разве нет? задан 3 Июл '14 20:14 
Doctrina |
|
Я буду исходить из предположения, что четыре шара расположены в вершинах квадрата, и каждый шар касается двух соседних с ним, а также самой сферы. Видимо, в условии это и подразумевалось. Тогда положение шаров задаётся однозначно, и сначала надо вычислить радиусы этих шаров. Пусть $%x$% -- значение радиуса. Центры шаров образуют квадрат со стороной $%2x$%. При этом расстояние от центра каждого шара до центра сферы равно $%R-x$%. Спроектируем центр шара на плоскость; расстояние от него до плоскости равно $%x$%. Точка проекции при этом удалена от центра сферы на расстояние $%\sqrt2x$% (половина диагонали квадрата). По теореме Пифагора, $%(R-x)^2=x^2+(\sqrt2x)^2=3x^2$%, то есть $%R-x=\sqrt3x$%. Следовательно, $%R=x(\sqrt3+1)$% и $%x=\frac{\sqrt3-1}2R$%. Теперь пусть $%y$% -- радиус пятого шара. Он расположен на расстоянии $%R-y$% от плоскости из условия. Поэтому его расстояние до плоскости, проходящей через центры четырёх шаров, равно $%R-y-x$%. Ввиду того, что пятый шар касается четырёх, его расстояние до центра каждого из четырёх шаров равно $%x+y$%. Это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $%R-x-y$% и $%\sqrt2x$%, поэтому остаётся применить теорему Пифагора. Получится уравнение $%(x+y)^2-(R-x-y)^2=2x^2$%, то есть $%R(2x+2y-R)=2x^2$%. Из него легко выражается $%y=(2-\sqrt3)R$%. Вот на всякий случай ссылка на задачу похожего содержания. отвечен 3 Июл '14 22:06 
falcao @falcao, ясно, вроде бы ничего сложного, но с чертежом работать очень трудно.
(3 Июл '14 23:20)
Doctrina
@Doctrina: а чертёж здесь и не нужен. Я совсем ничего не рисовал, когда решал. И вообще, пространственные чертежи делаю очень редко. Как правило, в стереометрических задачах лучше делать несколько плоских фрагментов, а не всю изображать фигуру в целом. Кстати, здесь, как и в задаче по ссылке, центр верхнего шара тоже лежит в плоскости, которая касается сверху остальных шаров. Это выяснилось уже после подсчёта.
(4 Июл '14 0:07)
falcao
|
тут логично бы смотрелось дополнительное условие, что 4 шара еще касаются и сферы. А так Вы правы. И в такой формулировке задача вряд ли имеет единственное решение.
@cartesius, возможно, это я неправильно поняла задачу? Она последняя http://alexlarin.com/download/file.php?id=16949&mode=view
@Doctrina, вроде все так. Но тут, как мне кажется, некорректность формулировки. И дополнительного условия явно не хватает: с ним все становится на свои места. Тут еще дело не только в фиксированности положения: радиусы этих 4-х шаров могут меняться. Интуитивно кажется, что даже если положение шаров - по центру, то в зависимости от их радиуса радиус 5-го шара будет меняться.