Решал задачу, вроде бы все верно но ответ не сходится.
УСЛОВИЕ: В основании параллелипипеда лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=1 и BC=4, боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 перпендикулярны основанию и равны 1. Сфера касается прямой DC1, в точке C1, прямой DB1 в точке, лежащей внутри отрезка DB1, и проходит через точку D1. Найдите радиус сферы. ответ половина корня из 6

Я решал так:

alt text

alt text

задан 4 Июл '14 21:10

изменен 7 Июл '14 21:17

Deleted's gravatar image


126

У меня по т. о 3 пер-рах получается OB1C1=90.. Это неправильно, но я не могу понять, почему.

(4 Июл '14 22:42) Doctrina
1

Ошибочно применена теорема о трёх перпендикулярах. Из того, что $%OC_1D$% и $%B_1C_1D$% прямые, не следует вывод о величине угла $%B_1OC_1$%.

(4 Июл '14 23:20) falcao

а почему не следует?

(4 Июл '14 23:26) 292875
1

@292895: я встречно мог бы спросить, а почему следует? Ведь это Ваше рассуждение, поэтому в случае возникновения сомнений Вы должны дать более развёрнутую аргументацию. Я виду только то, что прямая $%DC_1$% перпендикулярна плоскости $%B_1OC_1$%. Из этого следует, что она перпендикулярна любой из прямых этой плоскости. Это всё, что я могу извлечь из приведённого рассуждения.

(5 Июл '14 0:26) falcao

@292895, кажется, дело в том, что теорему вы (ну и я тоже) не так поняли. Самое очевидное опровержение - переместите точку О по прямой OC1. Согласно этой "теореме" угол B1OC1 будет оставаться прямым при любом положении точки О, чего не может быть.

(5 Июл '14 0:36) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
3

Давайте я попробую изложить решение. Прежде всего, разберёмся с перпендикулярностью. Мы знаем, что прямая $%DC_1$% перпендикулярна как $%OC_1$%, так и $%B_1C_1$%. Значит, она перпендикулярна плоскости $%OB_1C_1$%. Тогда той же плоскости перпендикулярна прямая $%AB_1$%, параллельная $%DC_1$%. В частности, угол $%AB_1O$% -- прямой.

Из треугольника $%DOC_1$% мы знаем, что $%OD^2=r^2+2$%. Рассмотрим теперь треугольник $%DOB_1$%, высота которого равна $%OM=r$%. По теореме Пифагора, $%DM=\sqrt{OD^2-OM^2}=\sqrt2$%. Поскольку $%DB_1=3\sqrt2$%, а точка $%M$%, согласно условию, лежит на отрезке $%DB_1$%, мы получаем $%MB_1=2\sqrt2$%. Тогда $%OB_1^2=r^2+8$% снова по теореме Пифагора. Теперь из прямоугольного треугольника $%AOB_1$% можно сделать вывод, что $%OA^2=r^2+10$%.

Теперь можно рассмотреть треугольник $%AOD$%, в котором сторону $%AD=4$% мы знаем, а две другие стороны выражены через $%r$%. Из этих данных можно выразить длину его высоты, а также длины отрезков $%AH$% и $%DH$%, где $%H$% -- основание высоты. Действительно, $%OA^2-AH^2=OH^2=OD^2-DH^2$%, откуда $%AH^2-DH^2=OA^2-OD^2=(r^2+10)-(r^2+2)=8$%. Точка $%H$% в принципе может лежать как на отрезке $%AD$%, так и на продолжении луча $%AD$% за точку $%D$%. Во втором случае $%AH-DH=AD=4$%, и тогда $%AH+DH=2$%, что невозможно. Следовательно, $%AH+DH=4$%, $%AH-DH=\frac{AH^2-DH^2}{AH+DH}=2$%, то есть $%AH=3$%, $%DH=1$%, и при этом $%OH^2=r^2+1$%.

Теперь нетрудно понять, куда попадает точка $%O$% при проекции на основание. Ясно, что $%O$% равноудалена от $%C_1$% и $%D_1$%, поэтому она лежит в плоскости, проходящей через середины рёбер $%AB$%, $%CD$%, $%A_1B_1$%, $%C_1D_1$%. Основанием проекции точки $%O$% на плоскость $%ABCD$% будет точка $%O'$%, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезкам $%AB$% и $%CD$%. При этом $%O'H$% будет перпендикулярна $%AD$%, что легко выводится из свойств перпендикуляров. Тогда $%O'H=\frac12$%, откуда $%(OO')^2=OH^2-O'H^2=r^2+\frac34$%. Обозначая через $%O_1'$% проекцию точки $%O$% на плоскость $%A_1B_1C_1D_1$%, имеем $%OO_1'=OO'-1=\sqrt{r^2+\frac34}-1$%.

Теперь осталось заметить, что треугольник $%OD_1O_1'$% -- прямоугольный, и длина его гипотенузы равна $%r$%. При этом точка $%O_1'$% удалена от сторон верхней грани на расстояния $%1$% и $%\frac12$%, откуда $%(D_1O_1')^2=\frac54$%. Применяя теорему Пифагора, составляем уравнение $%r^2-\frac54=(\sqrt{r^2+\frac34}-1)^2$%, решая которое, находим $%r^2=\frac32$%, то есть $%r=\frac{\sqrt6}2$%.

ссылка

отвечен 5 Июл '14 1:33

спасибо большое!

(5 Июл '14 5:51) 292875
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×412

задан
4 Июл '14 21:10

показан
592 раза

обновлен
5 Июл '14 5:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru