стереометрия - Найти радиус сферы

Давайте я попробую изложить решение. Прежде всего, разберёмся с перпендикулярностью. Мы знаем, что прямая $%DC_1$% перпендикулярна как $%OC_1$%, так и $%B_1C_1$%. Значит, она перпендикулярна плоскости $%OB_1C_1$%. Тогда той же плоскости перпендикулярна прямая $%AB_1$%, параллельная $%DC_1$%. В частности, угол $%AB_1O$% -- прямой.

Из треугольника $%DOC_1$% мы знаем, что $%OD^2=r^2+2$%. Рассмотрим теперь треугольник $%DOB_1$%, высота которого равна $%OM=r$%. По теореме Пифагора, $%DM=\sqrt{OD^2-OM^2}=\sqrt2$%. Поскольку $%DB_1=3\sqrt2$%, а точка $%M$%, согласно условию, лежит на отрезке $%DB_1$%, мы получаем $%MB_1=2\sqrt2$%. Тогда $%OB_1^2=r^2+8$% снова по теореме Пифагора. Теперь из прямоугольного треугольника $%AOB_1$% можно сделать вывод, что $%OA^2=r^2+10$%.

Теперь можно рассмотреть треугольник $%AOD$%, в котором сторону $%AD=4$% мы знаем, а две другие стороны выражены через $%r$%. Из этих данных можно выразить длину его высоты, а также длины отрезков $%AH$% и $%DH$%, где $%H$% -- основание высоты. Действительно, $%OA^2-AH^2=OH^2=OD^2-DH^2$%, откуда $%AH^2-DH^2=OA^2-OD^2=(r^2+10)-(r^2+2)=8$%. Точка $%H$% в принципе может лежать как на отрезке $%AD$%, так и на продолжении луча $%AD$% за точку $%D$%. Во втором случае $%AH-DH=AD=4$%, и тогда $%AH+DH=2$%, что невозможно. Следовательно, $%AH+DH=4$%, $%AH-DH=\frac{AH^2-DH^2}{AH+DH}=2$%, то есть $%AH=3$%, $%DH=1$%, и при этом $%OH^2=r^2+1$%.

Теперь нетрудно понять, куда попадает точка $%O$% при проекции на основание. Ясно, что $%O$% равноудалена от $%C_1$% и $%D_1$%, поэтому она лежит в плоскости, проходящей через середины рёбер $%AB$%, $%CD$%, $%A_1B_1$%, $%C_1D_1$%. Основанием проекции точки $%O$% на плоскость $%ABCD$% будет точка $%O'$%, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезкам $%AB$% и $%CD$%. При этом $%O'H$% будет перпендикулярна $%AD$%, что легко выводится из свойств перпендикуляров. Тогда $%O'H=\frac12$%, откуда $%(OO')^2=OH^2-O'H^2=r^2+\frac34$%. Обозначая через $%O_1'$% проекцию точки $%O$% на плоскость $%A_1B_1C_1D_1$%, имеем $%OO_1'=OO'-1=\sqrt{r^2+\frac34}-1$%.

Теперь осталось заметить, что треугольник $%OD_1O_1'$% -- прямоугольный, и длина его гипотенузы равна $%r$%. При этом точка $%O_1'$% удалена от сторон верхней грани на расстояния $%1$% и $%\frac12$%, откуда $%(D_1O_1')^2=\frac54$%. Применяя теорему Пифагора, составляем уравнение $%r^2-\frac54=(\sqrt{r^2+\frac34}-1)^2$%, решая которое, находим $%r^2=\frac32$%, то есть $%r=\frac{\sqrt6}2$%.