Элементарными преобразованиями строк называют:

перестановку местами любых двух строк матрицы; умножение любой строки матрицы на константу $%k\!, k \neq 0\!$%; прибавление к любой строке матрицы другой строки.

Почему часто говорят, что эти преобразования справедливы для строк, но ничего не говорят, верны ли эти утверждения для столбцов? Метод так и называется Элементарные преобразования строк. Но ведь тоже самое справедливо для столбцов.

Видимо о столбцах не говорят умышленно. Их что, трогать не комильфо?

Вопрос навеян нахождением ранга матрицы $$ \begin{bmatrix}4 & 3 & 9 & 4 \\2 & 6 & 9 & 5 \\ 0 & 3 & 3 & 2 \end{bmatrix} $$ столбцы хорошие, а строки - не очень. Применяя эквивалентные преобразования к стобцам, легко получить, что ее ранг равен двум.

задан 5 Июл '14 17:08

изменен 5 Июл '14 17:11

2

Терминологическое замечание: о преобразованиях нельзя говорить, что они "справедливы". Так говорят только об утверждениях. Преобразования же могут менять или не менять какие-то характеристики матрицы или системы. Скажем, для матрицы не меняется ранг при преобразованиях как строк, так и столбцов. Разница возникает тогда, когда мы решаем системы линейных уравнений. Тогда преобразования строк не меняют множество решений системы, а преобразования столбцов, как правило, не применяются, так как это ведёт к заменам переменных. Перестановка 1-го и 2-го столбца -- это переименование $%x_1$% и $%x_2$%.

(5 Июл '14 19:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Нет, элементарные преобразования столбцов тоже имеют право на существование. Более того, применительно к рангу матрицы: в некоторых учебниках алгебры дают три понятия ранга матрицы: горизонтальный, вертикальный и минорный, а затем показывается, что все они равны. Горизонтальный и вертикальный ранги как раз определяются как максимальное число линейно независимых строк (соответственно, столбцов) матрицы и находятся с помощью элементарных преобразований строк (столбцов).

Вообще обычно в литературе упоминается, что можно выполнять элементарные преобразования столбцов, но внимание на этом не акцентируется. Что-то вроде "транспонируем матрицу, тогда строки перейдут в столбцы и наоборот и тогда очевидно, что свойства элементарных строк аналогичны свойствам элементарных преобразований столбцов."

Что касается более частого использования элементарных преобразований строк, то я бы это связала с тем, что в большом числе случаев эти преобразования используются в методе Гаусса решения систем линейных уравнений, а там важны именно преобразования строк (чтобы работать с коэффициентами при одной и той же переменной).

ссылка

отвечен 5 Июл '14 17:32

изменен 5 Июл '14 17:39

большое спасибо!

(5 Июл '14 18:40) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×276

задан
5 Июл '14 17:08

показан
844 раза

обновлен
5 Июл '14 19:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru