теория-чисел - Может ли число быть квадратом целого числа?

Если имеется в виду, что хотя бы одна цифра 0 в записи числа присутствует, то не может. Вот доказательство.

Число из условия имеет вид $%n\cdot10^k+9$%, где $%k-1\ge1$% -- количество нулей. Если оно является квадратом натурального числа $%m$%, то $%m^2-9=n\cdot10^k$%, то есть $%(m-3)(m+3)=n\cdot2^k\cdot5^k$%. Числа в обеих частях положительные, и они имеют одинаковое разложение на простые множители. Поскольку числа $%m-3$% и $%m+3$% отличаются на 6, они не могут одновременно делиться на 5. Следовательно, все $%k$% простых сомножителей из правой части, равных 5, встречаются в разложении одного из двух сомножителей левой части. Такой сомножитель не меньше $%5^k$%. Второй сомножитель, соответственно, не превосходит $%n\cdot2^k$%. Имеем $%m\pm3\ge5^k$%, $%m\mp3\le n\cdot2^k$%, откуда $%5^k-n\cdot2^k\le\pm6\le6$%. Разделим обе части на $%2^k$%. Тогда $%(\frac52)^k\le n+\frac6{2^k}$%. Если $%k\ge3$%, то $%(\frac52)^k\ge(\frac52)^3=\frac{125}8 > 15$%. С другой стороны, $%n$% является цифрой, откуда $%n+\frac6{2^k}\le9+\frac68 < 10$%. Это приводит к противоречию.

Случай $%k=2$% можно разобрать отдельно. Число из условия трёхзначно, поэтому $%m\le31$%. Ясно, что $%m$% может оканчиваться только на 3 или 7. Возводя в квадрат числа 13, 17, 23, 27, непосредственно убеждаемся, что цифра посередине нулю не равна.