Найти $%(2+1/2)^2+(4+1/4)^2+...+(2^n+1/2^n)^2$%

задан 6 Июл '14 21:01

изменен 6 Июл '14 21:10

ASailyan's gravatar image


15.4k729

@Bhbyf, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(7 Июл '14 21:16) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

Это простая задача. Возведите в квадрат каждую скобку и перегруппируйте слагаемые. Получится $$(4+4^2+\ldots+4^n)+(1/4+1/4^2+\ldots+1/4^n)+2n=$$ $$=4(1+4+\ldots+4^{n-1})+1/4(1+1/4+\ldots+1/4^{n-1})+2n$$

Дальше пользуйтесь формулой первых членов геометрической прогрессии: $%1+q+\ldots+q^{n-1}=(q^n-1)/(q-1)$%.

В результате у меня получилось $$1/3(4^{n+1}-1/4^n)+2n-1$$

ссылка

отвечен 6 Июл '14 21:11

изменен 6 Июл '14 21:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

После раскрытия скобок получится $%(2^2+2^4+\cdots+2^{2n})+(2^{-2}+2^{-4}+\cdots+2^{-2n})+2n$%. Суммирование геометрических прогрессий вида $%q+q^2+\cdots+q^n$% со знаменателями $%q=4$% и $%q=\frac14$% даёт $%q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$%, то есть $%\frac43(4^n-1)$% и $%\frac13(1-4^{-n})$%. Далее всё складываем и упрощаем.

ссылка

отвечен 6 Июл '14 21:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×41

задан
6 Июл '14 21:01

показан
328 раз

обновлен
7 Июл '14 21:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru