система-уравнений - Решить систему уравнений

Ясно, что $%y > 0$%, $%x > 0$%, а также $%x\ne\frac14$%. Из второго уравнения $%y=8x-1 > 0$%, то есть $%x > \frac18$%.

Выразим всё через двоичные логарифмы: $%(\log_2x+\log_2y)\frac{\log_2y}{2+\log_2x}=2$%. Положим для краткости $%u=\log_2x$%, $%v=\log_2y$%. Уравнение приобретает вид $%(u+v)v=2(u+2)$%, и при этом $%u\ne-2$%, то уже учтено. Переносим всё в одну часть и выделяем общий множитель $%v-2$%, после чего $%(v-2)(u+v+2)=0$%.

Дальнейшее просто: при $%v=2$% получается решение $%(x,y)=(\frac58;4)$%, а при $%u+v=-2$% будет $%xy=\frac14$%. Подставляем $%y=8x-1$% и решаем квадратное уравнение относительно $%x$%. Один из корней отрицателен, а другой равен $%\frac14$%, то есть ничего не подходит. Значит, найденное выше решение единственно.