Высоты BK и AE треугольника ABC пересекаются в точке H.Найти расстояние от точки H до середины AB,если известно,что AK= 4 см,KH= 3 см,BC= 10 см

задан 7 Июл '14 16:47

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сначала находим $%AH=5$% по теореме Пифагора. Теперь мы знаем все стороны прямоугольного треугольника $%AKH$%, а он подобен $%BKC$%. Поскольку $%BC:AH=10:5=2$%, находим $%BK=2\cdot AK=8$% и $%KC=2\cdot KH=6$%.

Поскольку в условии не дано, что треугольник $%ABC$% остроугольный, надо рассмотреть два случая.

1) Угол $%BAC$% острый. Тогда точки $%K$% и $%C$% лежат на одном луче с вершиной $%A$%, и с учётом $%AK < KC$% получается, что $%K$% лежит между $%A$% и $%C$%, откуда $%AC=4+6=10$%. Это значит, что треугольник $%ACB$% равнобедренный с вершиной $%C$%. Высота $%CM$% будет также медианой, и из подобия треугольников $%CHK$% и $%CAM$% мы можем найти интересующую нас длину $%HM$%. Прежде всего, $%CH=\sqrt{KC^2+KH^2}=3\sqrt5$%. Тогда $%CM:CA=CK:CH=2:\sqrt5$%, откуда $%CM=4\sqrt5$%. Поэтому $%MH=CM-CH=\sqrt5$%.

2) Угол $%BAC$% тупой. Здесь $%AC=CK-AK=6-4=2$%, и по теореме Пифагора $%AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=4\sqrt5$%. Следует отметить, что и в первом случае длина $%AB$% была такой же. Однако теперь нам надо найти длину медианы $%HM$% треугольника со сторонами $%HA=5$%, $%HB=HK+KB=11$% и $%AB=4\sqrt5$%. Это можно сделать по известной формуле для квадрата длины медианы: $%HM^2=\frac{2(HA^2+HB^2)-AB^2}4=53$%. Таким образом, расстояние от $%H$% до середины $%AB$% может принимать два значения: $%\sqrt5$% или $%\sqrt{53}$%.

ссылка

отвечен 7 Июл '14 22:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,368

задан
7 Июл '14 16:47

показан
444 раза

обновлен
7 Июл '14 22:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru