При каких а неравенство $%ax^2+(a+1)x-3<0$% выполняется для любых х<2?

задан 7 Июл '14 23:09

изменен 8 Июл '14 16:45

Deleted's gravatar image


126

1

Кажется, нужно рассмотреть систему неравенств a<0; f(2)<=0, 2<=-a-1/2a (это абсцисса вершины). И отдельный случай a=0, он подходит.

(7 Июл '14 23:42) Doctrina

@Doctrina. Решением вашей системы будет [-1/5;0). А между тем при а=-2 любое значение х есть решение, значит а=-2 должно войти в решение???

(8 Июл '14 0:02) nynko

Да, я забыла про случай a<0 и D<0, эти а все подходят, т.е. a(-7-4√3;-7+4√3) и общий ответ a(-7-4√3;0].

(8 Июл '14 0:17) Doctrina

@themamiem, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(8 Июл '14 16:46) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

Понятно, что $%a=0$% подходит (неравенство $%x < 3$% выполнено при всех $%x < 2$%), а также ясно, что никакое $%a > 0$% не подходит, так как ветви параболы при этом будут направлены вверх.

Пусть $%a < 0$%; для удобства положим $%b=-a > 0$%. Неравенство примет вид $%f(x)=bx^2+(b-1)x+3 > 0$% для всех $%x < 2$%. Заметим, что $%f(2)=6b+1 > 0$%. Если абсцисса вершины параболы $%x_0=\frac{1-b}{2b}$% принадлежит $%[2;+\infty)$%, то на $%(-\infty;2]$% функция $%f(x)$% убывает, поэтому $%f(x) > f(2) > 0$% при всех $%x < 2$%, и такие значения $%b$% нам подходят. Неравенство $%x_0\ge2$% равносильно $%1-b\ge4b$%, то есть $%b\in(0;\frac15]$% подходят.

Пусть теперь $%b > \frac15$%, то есть $%x_0 < 2$%. Функция $%f(x)$% принимает на $%(-\infty;2)$% наименьшее значение, равное $%f(x_0)=-\frac{b^2-14b+1}{4b}$%, и оно должно быть больше нуля. Отсюда $%b^2-14b+1 < 0$%, то есть $%b\in(7-4\sqrt3;7+4\sqrt3)$%. Легко видеть, что $%7-4\sqrt3 < 7-4\cdot1,73=0,08 < \frac15$%, поэтому нам годятся все $%b\in(\frac15;7+4\sqrt3)$%. Вместе с предыдущими значениями получается $%b\in(0;7+4\sqrt3)$%, и тогда $%a\in(-7-4\sqrt3;0]$%.

ссылка

отвечен 8 Июл '14 0:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,036
×425
×339

задан
7 Июл '14 23:09

показан
732 раза

обновлен
8 Июл '14 16:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru